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! " HOMEPAGE TOUS LES ARTICLES PHYSIQUE AUTOMATIQUE ELECTRONIQUE PHYSIQUE Algèbre de Boole et fonctions Booléennes-Cours et Exercices Algèbre de Boole et fonctions Booléennes-Cours et Exercices corrigés L’algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s’intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. Elle fut inventée par le mathématicien britannique George Boole. Aujourd’hui, l’algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques. Un circuit électrique, pneumatique, hydraulique peut avoir 2 états logiques. Ces états peuvent prendre la valeur 1 ou 0. C’est ce que l’on appelle la # # / / t$ % & ' ( L Ces états peuvent prendre la valeur 1 ou 0. C’est ce que l’on appelle la variable logique. Ces états sont fonctions de l’état des composants en série dans le circuit. International Bachelor ESCE Téléchargez la Brochure & Découvrez le Programme Innovant de l'International Bachelor ESCE ESCE BACHELOR Ouvrir État 0 : Les actionneurs tels que : moteurs, vérins sont à l’état 0 lorsqu’ils ne sont pas alimentés. Le circuit est alors ouvert. Pour un circuit pneumatique ceci correspond à une absence de pression. Pour un circuit électrique cela correspond à une absence de différence de potentiel entre les bornes du circuit. Pour un contact ou un distributeur, c’est l’absence d’action physique intervenant sur un contact qui représente l’état 0. Il existe 2 types de logique : On dispose pour traiter l’information : Fonctions logiques de base Il existe 4 fonctions logiques de base ET: Elle est définie de la manière suivante : a ET b est VRAI si et seulement si a est VRAI et b est VRAI. Cette loi est aussi notée : État 1 : Les actionneurs sont à l’état 1 lorsqu’ils sont alimentés. Pour un circuit pneumatique ou hydraulique ceci correspond à une pression d’air ou d’huile dans le circuit. Pour un circuit électrique cela correspond à une différence de potentiel entre les bornes du circuit. Pour un contact ou un distributeur ils sont actionnés, c’est à dire qu’une action physique est prise en compte. la logique « positive » : le oui est représenté par un 1, et le non par un 0. la logique « négative » : le oui est représenté par un 0, et le non par un 1. d’un outil mathématique : l’algèbre de Boole, son rôle est de mettre en équation le fonctionnement d’un système, et de le simplifier en vue de sa réalisation physique. d’un outil physique : les portes logiques NON -NO-, ET -AND-, OU -OR-, …, fonctions de base « pré-câblées » permettant la fabrication du circuit électrique, pneumatique, ou hydraulique demandé. OU : Elle est définie de la manière suivante : a OU b est VRAI si et seulement si a est VRAI ou b est VRAI, ou si a et b sont vrais. Cette loi est a a b b f f \bar { f } \bar { f } 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 a.b a/\b (dans quelques notations algébriques, ou en APL) a&b ou a&&b (Perl, C, PHP, …) a AND b (Ada, Pascal, Python, …) aussi notée : NON : Le contraire de « a » est VRAI si et seulement si a est FAUX. Le contraire de a est noté : a a b b f f \bar { f } \bar { f } 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 a+b a\/b (dans quelques notations algébriques ou en APL) a|b ou a||b (Perl, C, PHP, …) a OR b (Ada, Pascal, Python, …) \bar { a } ~a (dans quelques notations algébriques ou en APL) !a (C, C++…) OU EXCLUSIF : f = a ⊕ b Fonction booléenne (ou logique) On appelle fonction booléenne une fonction définie sur { 2 }^{ n } combinaisons de n variables logiques. a a f f 0 0 1 1 1 1 0 0 a a b b f f \bar { f } \bar { f } 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 !a (C, C++…) NOT a (ASM, Pascal, …) Exemple : La lampe possède 2 états : allumée -1-, ou éteinte -0-. Cet état est fonction de la position -ouvert 0 ou fermé 1- des différents interrupteurs, a, b et c. Une fonction logique est donc une fonction de n variables logiques, Une fonction logique peut prendre en sortie 2 valeurs notées 0 et 1. Une fonction logique peut être représentée par une table donnant pour toutes les combinaisons des états des variables, l’état correspondant de la fonction. Elle comporte { 2 }^{ n } lignes -ou n est le nombre de variable, dans l’ordre binaire naturel. Cette table est appelée table de vérité. Cette table peut être Application Cas (1) – figure ci-dessus: a a f f Les interrupteurs sont les variables logiques. Il y a donc 1 variable dans (1), 2 variables dans (2), ou 3variables dans (3). le résultat de la fonction logique est l’état de la lampe, qui possède bien 2 valeurs : allumée -1- ou éteinte -0-. totalement définie, c’est-à-dire que l’état de la sortie est parfaitement connue en fonction des variables d’entrées, incomplètement définie, c’est-à-dire qu’il existe des états de sortie dits indéterminés, ils traduisent en générale une impossibilité physique. Ils sont notés X dans la table de vérité. nombre de variable logique : 1 nombre combinaison pour la fonction de sortie : { 2 }^{ 1 } = 2 états possibles. table de vérité : Cas (2) – figure ci-dessus: Cas (3) – figure ci-dessus: 0 0 0 0 1 1 1 1 a a b b f f 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 a a b b c c f f f’ f’ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 nombre de variable logique : 2 nombre combinaison pour la fonction de sortie : { 2 }^{ 2 } = 4 états possibles. table de vérité : nombre de variable logique : 3 nombre combinaison pour la fonction de sortie : { 2 }^{ 3 } = 8 états possibles. table de vérité : Règles de l’algèbre de Boole A- Lois de fermeture : B- Lois de commutativité : C- Lois d’associativité : D- Lois d’idempotence : E- Lois de complémentarité : 0 0 1 1 0 0 0 0 X X 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 X X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Fonction incomplètement définie : f’ a.b = a ET b = variable booléenne définie par la table de vérité de la fonction ET. a+b = a OU b = variable booléenne définie par la table de vérité de la fonction OU. a.b = b.a a+b = b+a a.(b.c) = (a.b).c a+(b+c) = (a+b)+c a.a = a a+a = a E- Lois de complémentarité : F- Lois d’identité remarquable : G- Lois de distributivité : H- Lois de distributivité « interne » : G- Exemples : H – Théorème de De Morgan (Augustus) : a.\bar { a }=0 a+\bar { fa}=1 1.a = a 1+a = 1 0.a = 0 0+a = a a.(b+c) = a.b + a.c a+(b.c) = (a+b).(a+c) a.b.c = (a.b).(a.c) a+(b+c) = (a+b)+(a+c) car a = a+a+a+a+… x.y+x.\bar { y }=x x + x.y = x x+\bar { x }.y=x+ y x.y+\bar { x }.z+y.z=x.y+\bar { x }.z (x+ y).(x+\bar { y })=x x.y+x.\bar { y }.z=x.y+x.z x.(x+y) = x x.(\bar { x }+y)=x.y \overline { a.b.c }=\bar { a }+\bar { b }+\bar { c } \overline { a+b+c }=\bar { a }.\bar { b }.\bar { c } Représentation des fonctions logiques A- Écriture algébrique : On veut utiliser un OU à 4 entrées et 4 ET à 3 entrées. On se propose de simplifier la fonction logique : f =x.y. \bar { z }+x. \bar { y } . z+\bar { x } . y.z+x.y.z \overline { a+b+c }=\bar { a }.\bar { b }.\bar { c } f =x.y. \bar { z }+x. \bar { y } . z+\bar { x } . y.z+x.y.z f =x.y. \bar { z }+x.y.z+x. \bar { y } . z+\bar { x } . y.z f =x.y. \bar uploads/Philosophie/ algebre-de-boole-page-1.pdf