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Éléments de logique Domaine Public (dépréciée) : http://creativecommons.org/lic

Éléments de logique Domaine Public (dépréciée) : http://creativecommons.org/licenses/publicdomain/2.0/fr/ DR EULOGE KOUAME juillet 2017 Table des matières Objectifs 5 I - Propositions logiques 7 A. Définition et exemple....................................................................................7 B. Connecteurs logiques....................................................................................7 C. Exercice......................................................................................................9 D. Exercice....................................................................................................10 II - Quantificateurs 11 A. Quantificateurs..........................................................................................11 B. Exercice....................................................................................................12 III - Raisonnements 13 A. Raisonnements..........................................................................................13 B. Exercice....................................................................................................14 C. Exercice....................................................................................................15 D. Exercice....................................................................................................15 Ressources annexes 17 Solution des exercices 19 EULOGE KOUAME© UVCI 2017 3 Objectifs À la fin de cette leçon, vous serez capable de : • Identifier les éléments de la logique mathématique • Identifier les différents types de raisonnements mathématiques • Effectuer une démonstration mathématique EULOGE KOUAME© UVCI 2017 5 I - Propositions logiques I Définition et exemple 7 Connecteurs logiques 7 Exercice 9 Exercice 10 Objectifs A la fin de la section vous serez capable de : • Définir la notion de proposition mathématique • Connaître les opérations de base de la logique mathématique A. Définition et exemple Définition Une proposition ou une assertion est un énoncé qui est soit vrai soit faux. pas les deux a la fois. Exemple • « Il pleut. » • « Je suis plus grand que toi. » • « 2 + 2 = 4 » • « 2 x 3 = 7 » B. Connecteurs logiques Si P est une proposition et Q est une autre , nous allons définir de nouvelles propositions construites à partir de P et de Q. Les connecteurs logiques sont des opérations permettant de créer de ces nouvelles propositions. EULOGE KOUAME© UVCI 2017 7 La négation La négation de P, ou « non P », est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie. On la résume à l'aide d'une table de vérité P Non P V F F V La conjonction (et) La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition « P et Q » notée également P Q ∧ qui est vraie si P et Q le sont et qui est fausse sinon. Sa table de vérité est P Q P Q ∧ V V V F V F V F F F F F Exemple Par exemple si P est la proposition « Cette carte est un as » et Q la proposition « Cette carte est coeur » alors l'assertion « P et Q » est vraie si la carte est l'as de coeur et est fausse pour toute autre carte. La disjonction (ou) 9La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition « P ou Q » notée également P Q est vraie si l'une ( au moins) des deux propositions l'est et fausse ∨ sinon. Sa table de vérité est : P Q P Q ∧ V V V F V V V F V F F F Exemple Si P est l'assertion « Cette carte est un as » et Q l'assertion « Cette carte est coeur » alors l'assertion « P ou Q » est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l'as de coeur). L'implication Soient P et Q deux propositions. L'implication est la proposition « (non P) ou Q ». On la note P Q et on la lit « ⇒ P implique Q ». Sa table de vérité est P Q P Q ⇒ Propositions logiques EULOGE KOUAME© UVCI 2017 8 V V V F V V V F F F F V Elle se lit souvent aussi « si P est vraie alors Q est vraie » ou « si P alors Q ». Exemple « x=-5 -x = 5» est vraie. ⇒ « sin(θ) = 0 θ = 0 » est fausse (regarder pour θ = 2π par exemple). ⇒ • « 2 + 2 = 5 2 ⇒ 2 = 4 » est vraie ! Eh oui, si P est fausse alors l'assertion « P Q » ⇒ est toujours vraie. L'équivalence L'équivalence de deux propositions P et Q est la proposition (P Q et Q P). On la ⇒ ⇒ note P Q ⇔ et on la lit « P équivaut à Q ». On dira aussi « P si et seulement si Q ». Elle est vraie lorsque P et Q sont vraies ou lorsque P et Q sont fausses. Sa table de vérité est : P Q P Q ⇔ V V V F V F V F F F F V Exemple Pour tous réels x, x', l'équivalence « x . x' = 0 (x = 0 ou x' = 0) » est vraie. ⇔ Méthode : Proposition Soient P , Q et R trois propositions . On a les les équivalences (vraies) suivantes : Démonstration : Essayer de les faire en construisant les tableaux de vérité pour chaque cas. Exemples de démonstration :Exple demonstration.png (cf. Exple demonstration p 17) C. Exercice [Solution n°1 p 19] Exercice Propositions logiques EULOGE KOUAME© UVCI 2017 9 On considère deux propositions A et B. On considère la proposition : C = non (A et B). Parmi les propositions suivantes, indiquez celle(s) qui sont équivalente(s) à C. (non A) ou (non B) (non A) et (non B) A ou B (B) implique (non A) (non B) implique A D. Exercice [Solution n°2 p 19] la négation de (P et (Q ou R)) est : completez (non P) ou (non Q) ....(non R) Propositions logiques EULOGE KOUAME© UVCI 2017 10 II - Quantificateurs II Quantificateurs 11 Exercice 12 Objectifs A la fin de cette section, vous serez sera capable de : • Savoir traduire une proposition en langage mathématique A. Quantificateurs On peut avoir besoin d'utiliser des propositions contenant une ou plusieurs variables. une telle proposition est appelée prédicat P(x). Exemple « Pour tout réel x, le nombre x2 est positif » Le quantificateur : « pour tout » ∀ x E, P(x) ∀ ∈ est une assertion vraie lorsque les assertions P(x) sont vraies pour tous les éléments x de l'ensemble E. On lit « Pour tout x appartenant à E, P(x) », sous-entendu « Pour tout x appartenant à E, P(x) est vraie ». Exemple  « x R, x ∀ ∈ 2 > 1 » est une assertion fausse.  « x N , n(n + 1) est divisible par 2 » est vraie ∀ ∈ Le quantificateur : « il existe » ∃ x E, P(x) ∃ ∈ est une assertion vraie lorsque l'on peut trouver au moins un x de E pour lequel P(x) est vraie. On lit « il existe x appartenant à E tel que P(x) (soit vraie) ». Le symbole ! ∃ signifie « il existe un unique ». Exemple « x R, x(x- 1) < 0 » est vraie (par exemple x = 1/2 vérifie bien la propriété). ∃ ∈ EULOGE KOUAME© UVCI 2017 11 « x R, x ∃ ∈ 2 = -1) » est fausse (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif). La négation des quantificateurs La négation de « x E, P(x) » ∀ ∈ est « x E, non P(x) » ∃ ∈ . La négation de « x E, P(x) » ∃ ∈ est « x E, non P(x) » ∀ ∈ . Exemple La négation de « x R (x + 1 Z) » est « R (x + 1 Z) ». ∀ ∈ ∈ ∃∈ ∉ La négation de « x R , y > 0, (x + y > 10) » est « x R , y > 0, (x + y ≤ ∀ ∈ ∃ ∃ ∈ ∀ 10) » B. Exercice Écrire à l'aide des quantificateurs les phrases suivantes, puis écrire la négation: 1. « Pour tout nombre réel, son carré est positif ». 2. « Pour chaque réel, je peux trouver un entier relatif tel que leur produit soit strictement plus grand que 1 » 3. « Pour tout entier n, il existe un unique réel x tel que exp(x) égale n ». Quantificateurs EULOGE KOUAME© UVCI 2017 12 III - Raisonnements III Raisonnements 13 Exercice 14 Exercice 15 Exercice 15 Objectifs A la fin de cette section, vous serez capable de : • Identifier les types de raisonnements mathématiques et savoir les utiliser Nous présentons ici les différents types de raisonnements permettant de faire des démontrations. A. Raisonnements Nous donnons 4 types de méthodes classiques de raisonnements : 1. Le direct 2. La contraposée 3. L'absurde 4. La récurrence Raisonnement direct C'est le mode de raisonnement le plus classique. Il consiste à partir des hypothèses, puis à l'aide d'implications successives, à aboutir au résultat recherché. L'exemple le plus célèbre est le suivant : Tous les hommes sont mortels. (Hypothèse) Or Socrate est un homme. (Hypothèse) Donc Socrate est mortel. (Conclusion) Raisonnement par contraposée Lorsque l'on doit démontrer une implication de la forme P Q, on peut très bien ⇒ démontrer sa contraposée non(Q) non(P) qui lui est équivalente. ⇒ EULOGE KOUAME© UVCI 2017 13 Exemple Soit n N. Montrer que si n ∈ 2 est pair alors n est uploads/Philosophie/ algebre-l1-papier.pdf