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Logique et théorie des ensembles Logique et théorie des ensembles Baolahy Josap

Logique et théorie des ensembles Logique et théorie des ensembles Baolahy Josaphat UNIVERSITE DE FIANARANTSOA 14 décembre 2021 Logique et théorie des ensembles Motivations Les données informatiques(nombre, mot, texte, image, vidéo,...) sont représentées par une succession de 0 et de 1. Par exemple le nombre 12 est représenté par 1100. L'algèbre de Boole est la partie des Mathématiques qui étudie ces objets qu'on appelle les nombres binaires.[Numérisation et système binaire] Les cartes bancaires sont protégées par les systèmes de sécurisation qui sont des résultats de la cryptographie. Logique et théorie des ensembles Motivations Les maths permettent d'exprimer avec rigueur les faits de la nature. Exemple "Une fonction continue est une fonction qu'on peut tracer avec un crayon sans lever la main". "A continuous function is a function that we can draw with a pencil without getting our hand up". Qu'en pensez-vous ? Ils sont les mêmes, mais sont écrits dans diérents langages. En langage mathématique, une fonction f : D →R est continue lorsque : ∀x0 ∈D ∀ϵ > 0 ∃δ | ∀x ∈D(|x −x0| < δ ⇒|f (x) −f (x0)| < ϵ) Le but de ce chapitre est de vous faire comprendre cette dernière ligne. C'est la logique ! Logique et théorie des ensembles Ce rigueur permet de distinguer les vraies du faux. Exemple 3 est plus grand que 2 ∀x ∈R x2 ≥0 "Obtenir 1 000 000 Ar est préférable que d'obtenir un ordinateur" (Qu'en pensez-vous ?) C'est le raisonnement Le raisonnement est le moyen de valider ou d'in rmer une hypothèse et de l'expliquer à autrui. Logique et théorie des ensembles Exemple de problème qu'on va résoudre avec les maths Les maths permettent de répondre à beaucoup de questions de manière précise, ceci est grâce à sa rigueur. Exemple Nous avons à distribuer de manière équitable 430 ordinateurs et 720 téléphone à des points de vente de matériel informatique. A Combien de points de vente diérents au maximum pourrons-nous faire cette distribution ? Combien d'ordinateurs, de téléphones doit-on livrer à chaque centre ? Logique et théorie des ensembles Réponse Nombre entier Division Euclidienne PGCD La réponse est 10 points de vente. Logique et théorie des ensembles Logique De nition Une assertion est une phrase qui est soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps. Exemple "Il pleut à ce moment." "Je suis le plus grand de la classe." "2 + 2 = 4" "2 × 2 = 7" Logique et théorie des ensembles Tableau de vérité Si P est une assertion, on a sa table de vérité : P V F ou P 1 0 Logique et théorie des ensembles De nition Une proposition est une assertion qui comporte une ou plusieurs variables de telle sorte qu'elle soit vraie pour certaines valeurs de la variable et fausse pour les autres valeurs. Exemple Si x et y sont deux nombres réels x + y < 5. Si x et y sont deux nombres entiers naturels x + y < 5. Si a et b sont deux étudiants, a est l'ami de b. Logique et théorie des ensembles Une assertion qui est toujours vraie est appelée une tautologie. Sa tableau de vérité est donnée par : P V Exemple Les humains sont mortels. x = y ou x ̸= y. ? ? ? Une antilogie est une proposition qui est toujours fausse. Exemple Mon petit frère est plus âgé que moi. La circonférence d'un cercle de rayon r est égale à πr. Logique et théorie des ensembles L'opérateurs ou connecteurs logiques On peut construire une nouvelle assertion à partir de deux assertions P et Q à l'aide des opérateurs ou connecteurs logiques. Logique et théorie des ensembles Opérations logiques "et" ou "∧" De nition L'assertion "P et Q" est vraie si P est vraie et Q est vraie. L'assertion "P et Q" est fausse sinon. Sa tableau de vérité est : P Q P et Q (P∧Q) V V V V F F F V F F F F Logique et théorie des ensembles L'opérateur logique "ou" ou "∨" De nition L'assertion "P ou Q" est vraie si l'une des deux assertions P ou Q est vraie. L'assertion "P ou Q" est fausses si les deux assertions P et Q sont fausses. P Q P ou Q (P ∨Q) V V V V F V F V V F F F Logique et théorie des ensembles Exemple Elle est intelligente et belle. Il est de Fianarantsoa ou d'Ambalavao. Un nombre entier est positif ou négatif. (Tautologie) Logique et théorie des ensembles La négation "non" De nition L'assertion "non P " est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie : P non P (P, ¬P) V F F V Logique et théorie des ensembles La négation "non" Exemple La négation de "Il est grand" est "Il n'est pas grand". La négation de "x = 0" est "x ̸= 0". La négation de "x < 0" est "x ≥0". Logique et théorie des ensembles L'implication "⇒" De nition L'assertion "(non P) ou Q" est notée "P ⇒Q". L'assertion P ⇒Q se lit "P implique Q". P est appelée prémisse et Q la conclusion. Logique et théorie des ensembles Interprétation et explication de notation P engendre Q ou Q est une conclusion de P. Exemple Je vous dit que si vous êtes bon en maths vous serez un bon informaticien. Dans quelle situation vous me traiterez de menteur ? Logique et théorie des ensembles Posons P : "Vous êtes bon en maths" et Q : "Vous serez un bon informaticien". Le tableau de vérité de ma proposition est : P Q P ⇒Q V V V V F F F V V F F V Logique et théorie des ensembles Donner le tableau de vérité de (non P) ou Q. Comparer avec ce de l'implication. Exemple "0 ≤x ≤25 ⇒√x ≤5" est vraie. "Si ton petit frère a x ans alors tu a moins de x ans" est Fausse. "sin(θ) = 0 ⇒θ = 0" est fausse. "Si les humains sont immortels alors je suis votre prof d'algèbre" est vraie !" (Ce n'est pas ma faute ! ! !) 2 + 2 = 5 ⇒ √ 2 = 2 est vraie !. Logique et théorie des ensembles L'équivalence ⇔ De nition L'équivalence est dé nie par : "P ⇔Q est l'assertion "(P ⇒Q)" et "(Q ⇒P)". On dira que "P est équivalent à Q ou "P équivaut à Q" ou "P si et seulement si Q". Logique et théorie des ensembles Tableau de vérité de l'équivalence P Q P ⇒Q Q ⇒P P ⇔Q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Logique et théorie des ensembles Exemple x et x′ étant deux réels, l'équivalence "x.x′ = 0 ⇔(x = 0 ou x′ = 0)" est vraie. P ⇔(nonP) est toujours fausse. En mathématique on s'intéresse souvent aux assertions vraies qu'aux fausses. Dans la pratique, on écrit P ⇒Q ou P ⇔Q si elles sont vraies. Logique et théorie des ensembles Proposition Soient P, Q, R trois assertions. On a les équivalences (vraies) suivantes : 1 non(non(P)) ⇔P. 2 (P et Q) ⇔(Q et P). 3 (P ou Q) ⇔(Q ou P). 4 [(P et Q) et R] ⇔[P et (Q et R) 5 [(P ou Q) ou R] ⇔[P ou (Q ou R) 6 non(P et Q) ⇔(non(P)) ou (non(Q)) 7 non(P ou Q) ⇔(non(P)) et (non(Q)) 8 [P et (Q ou R)] ⇔(P et Q) ou (P et R). 9 [P ou (Q et R)] ⇔(P ou Q) et (P et R). 10 "P ⇒Q" ⇔"non(Q) ⇒non(P)" 11 [(P ⇒Q) et (Q ⇒R)] ⇒(P ⇒R) Logique et théorie des ensembles Ensembles De nition On appelle ensemble E toute collection d'objets, appelés éléments de l'ensemble E. De nition Si le nombre de ces objets est ni, on appelle ce nombre le cardinal de E et on le note Card(E) ou |E|.Dans ce cas l'ensemble est dit un ensemble ni. Si E a une in nité d'éléments, on dit qu'il est de cardinal in ni et on note Card(E) = ∞. Logique et théorie des ensembles De nition Si un objet x est un élément de E, on dit que x appartient à E et on note x ∈E, sinon on dit que x n'appartient pas à E et on note x / ∈E. Exemple L'ensemble des étudiants DA2I L1. L'ensemble des nombres entiers naturel N. Logique et théorie des ensembles Dé nition par extension Si on connait la liste de tous les éléments de l'ensemble, on dit alors que l'ensemble est donné par "Extension". Exemple V = {a, e, i, o, u, y} V = {1, 3, 5, 7, 9} Logique et théorie des ensembles Dé nition par Compréhension Si on connait seulement les relations qui lient les éléments de l'ensemble et que cette relation nous permet de les retrouver tous, on dit alors que l'ensemble est donné par Compréhension. Exemple L'ensemble des uploads/Philosophie/ algebre-generale.pdf