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MATHEMATIQUES Terminales S BAC BLANC 2007 La qualité de la rédaction et de la p

MATHEMATIQUES Terminales S BAC BLANC 2007 La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. EXERCICE 1 (5 points) On se propose de déterminer quels sont les nombres complexes solutions de l’équation (E) : z2 – 6z + 12 = 0 et de placer, par une construction géométrique, les images de ces nombres dans le plan complexe. 1- a) Résoudre l’équation (E). On vérifiera que l’une des solutions s’écrit u = 3 3 i + . b) Vérifier que le module de u est 2 3 . Calculer un argument de u. En déduire le module et un argument de u . 2- a) On considère le nombre complexe : u – 4 . Ecrire ce nombre sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. b) Calculer le module et un argument du nombre : 4 − u u . En déduire le module et un argument de 4 − u u . 3- Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé (O, j i, ) , on note : A le point d’affixe 4 , B le point d’affixe 2, et C le point d’affixe 6. M et N sont les points d’affixes respectives u et u . a) Déterminer une mesure de l’angle ) , ( MO MA . En déduire que M est sur un cercle que l’on précisera. b) Démontrer que M est aussi sur le cercle de diamètre [BC]. c) Construire les deux cercles obtenus, le point M puis le point N. EXERCICE 2 (5,5 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( , , ) O i j →→ ; unités graphiques : 2 cm. Soient les fonctions f , g et h définies sur ℝ par x e x x f − = ) ( , x e x x g ) 1 ( ) ( − = et ( ) ( ) ( ) h x f x g x = − . On désigne par (C ) et (C’) les courbes représentatives respectives des fonctions f et g dans ( , , ) O i j →→ . 1. a) Déterminer les limites des fonctions f et g en +∞ et en ∞ − . b) Etudier les variations des fonctions f et g sur ℝ. c) Montrer que la courbe (C ) admet une droite ( ) ∆ comme asymptote oblique en −∞. 2. a) Montrer que, pour tout réel x, '( ) 1 ( ) h x g x = − . b) En déduire les variations de la fonction h. c) Montrer que l’équation ( ) 0 h x = admet une solution unique α dans ℝ. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ? Donner un encadrement de α d’amplitude 0,01. d) Déterminer, suivant les valeurs de x, les positions relatives de (C ) et (C’). e) Tracer, avec soin, les courbes (C ) , (C’) et la droite ( ) ∆ dans ( , , ) O i j →→ . EXERCICE 3 (4 points) On considère la suite (u n) définie sur ℕ par u 0 = 1 et 1 n u n n u u e− + = 1) Montrer par récurrence que pour tout entier n, un est strictement positif. 2) Etudier le sens de variation de (u n) à l’aide du rapport 1 n n u u + . 3) Montrer par récurrence que un+1 = n S e− où Sn est la somme u0 + u1 + u2 + . . . . + un . 4) Justifier que (u n) est une suite convergente, puis montrer que sa limite est 0. 5) Exprimer Sn en fonction de un+1 et en déduire la limite de Sn . EXERCICE 4 (3.5 points) Dans une pièce à température constante de 20°C, à l’instant initial noté 0, la température θ (0) d’un liquide est égale à 80 °C. Cinq minutes plus tard, elle est de 50°C. On admet que la température θ du liquide est une fonction dérivable du temps x (exprimé en minutes) et que '( ) x θ est proportionnel à la différence entre la température θ (x) et celle de la pièce. On notera a le coefficient de proportionnalité, a∈R . Autrement dit : '( ) x θ = a (θ (x) -20). 1- Soit (E) l’équation différentielle y’ = a y et soit f une solution de (E) sur R . Calculer alors la dérivée de la fonction g : ( ) ax x f x e− × ֏ pour tout x∈R . En déduire que si une fonction f est solution de (E), elle est de la forme ( ) ax f x k e = × où k est une constante réelle. 2- Résoudre l’équation différentielle : y’ = a y – 20 a. 3- Démontrer que ( ) x θ =60 ln 2 5 20 x e − + . EXERCICE 5 (2 points) Soit f l’application définie sur [0 ; + ∞[ par ( ) ln f x x x = si x≠0 et f (0) = 0. 1) f est-elle continue en 0 ? 2) f est-elle dérivable en 0 ? 3) Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[ . uploads/Philosophie/ bacblan3-pdf.pdf