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- 1 - © 2006 - Gérard Lavau - http://perso.orange.fr/lavau/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet, vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site, à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d'année. Une étude exhaustive et directe de l'ensemble du chapitre serait particulièrement indigeste. Il vaut mieux se référer à tel ou tel paragraphe le moment venu. 1– Règles usuelles et notations i) A, B et C étant les parties d'un ensemble E, on note : A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} (réunion de A et B) A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B} (intersection de A et B) A = {x | x ∉ A} (complémentaire de A) On prouvera en exercices les règles usuelles suivantes : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∩ B) = A ∪ B (A ∪ B) = A ∩ B A ⊂ B ⇔ B ⊂ A - 2 - Ces règles s'appliquent à une réunion ou une intersection quelconque, finie ou non. Si I désigne un ensemble quelconque d'indices, on pose : x ∈ ∪ i∈I Ai ⇔ ∃ i, x ∈ Ai (x est dans l'un des Ai. ∃ signifie "il existe") x ∈ ∩ i∈I Ai ⇔ ∀ i, x ∈ Ai (x est dans tous les Ai. ∀ signifie "quel que soit") EXEMPLE : ∪ n∈   * [1 n, 1] = ]0,1]. ∩ n∈   * [1 – 1 n, 1] = {1}, alors que ∩ n∈   * [1 – 1 n, 1[ = ∅ ∅ désigne l'ensemble vide, ne possédant aucun élément. ii) On appelle différence de A et B la partie notée A – B (ou A \ B) définie par {x ∈ E | x ∈ A et x ∉ B}. On a A – B = A ∩ B. iii) Toutes les parties de E, depuis l'ensemble vide ∅ jusqu'à E lui–même, forment un ensemble appelée ensemble des parties de E et notées   (E). Si E possède n éléments,   (E) en possède 2n. En effet, pour définir une partie A de E, il suffit de choisir si chaque élément de E appartient ou non à A, ce qui fait 2n choix possibles (deux choix possibles par élément : il est dans A ou il n'est pas dans A). Le nombre d'éléments d'un ensemble s'appelle son cardinal. On a donc : Card   (E) = 2Card(E) iv) Etant donné deux ensembles E et F, on note E × F l'ensemble des couples (x, y), où x est élément de E et y élément de F. Par exemple, l'ensemble des couples de réels est noté   ×   , ou 2. L'ensemble des n–uplets ou n–listes (x1, x2, ..., xn) d'éléments de E est noté En. L'ensemble des suites (xi)i∈I d'éléments de E, indicées par un ensemble I fini ou non, est noté EI. 2- Logique Une proposition mathématique P est une phrase pouvant prendre les valeurs vrai ou faux. Par exemple, dans les entiers : P : ∀ n, ∃ m, m = n2 est vrai Q : ∀ n, ∃ m, n = m2 est faux Etant donné une proposition, le travail du mathématicien consiste à déterminer si elle est vraie ou fausse. S'il arrive à démontrer qu'elle est vraie, cette proposition est un théorème. On est amené à regrouper diverses propositions de la façon suivante : a) la conjonction : "P et Q" est une proposition qui sera vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies. b) la dijonction : "P ou Q" est une proposition qui est vraie si et seulement si au moins une des deux propositions P ou Q est vraie. Les deux peuvent être vraies. le "ou" a un sens inclusif. (Il existe un "ou" exclusif, mais qui n'est pas utilisé de façon usuelle). - 3 - c) l'équivalence : "P ⇔ Q" est vraie si et seulement si P et Q sont simultanément vraies ou simultanément fausses, autrement dit, si P et Q ont même valeurs de vérité. Par exemple : x = ey ⇔ x > 0 et y = ln(x) L'équivalence peut s'appliquer à des propositions fausses. Par exemple, si on veut montrer qu'une proposition P est fausse, on peut chercher une proposition Q équivalente à P et montrer que Q est fausse. d) l'implication logique : "P ⇒ Q" est vraie si et seulement si P est fausse ou Q est vraie. Cette notion est la plus difficile à maîtriser, contrairement à ce qu'on peut penser au premier abord. Prenons un exemple pour illustrer ce fait. Considérons un circuit électrique en série constitué d'un générateur de courant, d'un interrupteur et d'une lampe. lampe interrupteur générateur L'interrupteur peut être ouvert ou fermé ; la lampe peut être allumée ou éteinte. Soit P la proposition : la lampe est allumée. Soit Q la proposition : l'interrupteur est fermé. Quelle est la relation d'implication logique entre P et Q ? A-t-on P ⇒ Q ? Q ⇒ P ? A-t-on l'équivalence P ⇔ Q ? Précisons qu'on ne recherche pas une relation causale, telle que le conçoit le physicien. Nous cherchons une relation logique permettant de faire une déduction. Il y a trois situations possibles : interrupteur ouvert interrupteur fermé interrupteur fermé lampe éteinte lampe allumée lampe éteinte situations les plus courantes situation inhabituelle mais pas impossible : lampe grillée, voltage trop faible, ... Une seule situation est impossible : - 4 - interrupteur ouvert lampe allumée. La seule implication logique est la suivante : P ⇒ Q : si la lampe est allumée, alors l'interrupteur est fermé. L'implication Q ⇒ P (si l'interrupteur est fermé, alors la lampe est allumée) correspond certes à une explication causale de l'allumage de la lampe, mais n'est possible que dans un monde idéal et parfait où les lampes ne tombent jamais en panne, et ne constitue en rien une conséquence logique. On réfléchira au fait que toutes les phrases qui suivent ont la même signification : P ⇒ Q lampe allumée ⇒ interrupteur fermé non Q ⇒ non P (contraposée) interrupteur ouvert ⇒ lampe éteinte si P alors Q si la lampe est allumée, alors on en déduit que l'interrupteur est fermé. P est suffisant pour Q il suffit que la lampe soit allumée pour il suffit P pour avoir Q conclure que l'interrupteur est fermé. P seulement si Q la lampe est allumée seulement si l'interrupteur est fermé. Q est nécessaire pour P il faut que l'interrupteur soit fermé il faut Q pour avoir P pour que la lampe soit allumée. non P ou Q la lampe est éteinte, ou l'interrupteur est fermé Il résulte de cela que l'implication est vérifiée dans les trois cas suivants (correspondant à nos trois dessins) : P est vrai et Q est vrai P est faux et Q est vrai P est faux et Q est faux Ainsi, si P est faux, Q est quelconque et il n'y a rien à montrer. La seule chose à montrer est donc bien que si P est vrai, alors Q est vrai. L'implication est fausse dans le seul cas suivant : P est vrai et Q est faux Il ne peut y avoir d'implication, puisque l'hypothèse est vérifiée, mais pas la conclusion. - 5 - La réciproque de l'implication P ⇒ Q est Q ⇒ P. Elle peut être vraie ou fausse, indépendamment de la valeur de vérité de P ⇒ Q. Dans notre exemple, la réciproque est fausse. Toutes les phrases qui suivent sont équivalentes à Q ⇒ P. Elles sont donc fausses, le contre-exemple étant donné par le troisième dessin : Q ⇒ P interrupteur fermé ⇒ lampe allumée non P ⇒ non Q (contraposée) lampe éteinte ⇒ interrupteur ouvert si Q alors P si l'interrupteur est fermé, alors la lampe est allumée. Q est suffisant pour P il suffit que l'interrupteur soit uploads/Philosophie/ 1-ensemble.pdf

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