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UNIVERSITE DEPARTEMENT LABORATOIRE GEVREY DE DE BOURGOGNE DE MATHEMATIQUE-PHYSI

UNIVERSITE DEPARTEMENT LABORATOIRE GEVREY DE DE BOURGOGNE DE MATHEMATIQUE-PHYSIQUE DIJON MATHEMATIQUES UMR 5029 THESE présentée par Grichka BOGDANOFF En vue d'obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE BOURGOGNE Spécialité : Mathématiques FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA MÉTRIQUE À L'ÉCHELLE DE PLANCK _________ Soutenue publiquement à l’Ecole Polytechnique le 26 Juin 1999 devant le jury composé de Gabriel SIMONOFF Président Dimitri GOUREVITCH Rapporteur Costas KOUNNAS Rapporteur Shahn MAJID Rapporteur Igniatios ANTONIADIS Examinateur Michel SEMENOFF-TIAN SHANSKI Examinateur Daniel STERNHEIMER Examinateur Manuscrit déposé le 31 Janvier 2000 REMERCIEMENTS Je tiens en premier lieu à exprimer toute l'émotion suscitée par la disparition brutale de Moshé Flato qui avait accepté d'être à la fois le fondateur et le guide irremplaçable de cette recherche. Un hommage tout spécial lui est donc destiné pour son soutien continuel, sa disponibilité amicale et créative ainsi que l'expérience scientifique unique dont il m'a généreusement fait profiter et qui donne toute sa signification à ce travail. Daniel Sternheimer, qui a bien voulu en diriger la soutenance et n'a jamais ménagé sa présence aux moments les plus difficiles, trouvera ici la marque de notre amitié et de notre profonde gratitude. Je veux aussi saluer la mémoire d'André Lichnerowicz, dont les conseils exceptionnels et toujours amicaux ont vivement éclairé ma compréhension de la gravitation et contribué à l'orientation de ce travail. Je tiens également à remercier les membres du Laboratoire de Physique Mathématique de l'Université de Bourgogne pour leur accueil et l'aide scientifique qu'ils m'ont apportée au cours de ces dernières années. Mes remerciements vont plus particulièrement à Daniel Sternheimer, Georges Pinczon, Michel Semenov- Tian- Shanski , Jacques Simon, Christiane Martin et Jean-Claude Cortet. Je remercie également Marylise Debret pour les aimables démarches effectuées par elle dans l'administration de la présente thèse. La phase préliminaire de cette recherche a été élaborée grâce à Gabriel Simonoff, du Laboratoire de Physique de Bordeaux I . Son aide extrêmement amicale, sa profonde vision d'homme de science et ses conseils m'ont été précieux dès l'origine de cette longue recherche, voici déjà bien des années. Qu'il trouve ici le témoignage de ma gratitude particulière. Que Joël Sternheimer, dont la pensée libre et originale a fortifié mon engagement dans cette recherche, soit également remercié pour les mêmes raisons. Et mon amical hommage va vers Jean-Claude Simon, mon tout premier maître en science. Quant au fond, je tiens à dire ma plus profonde gratitude à Shahn Majid, du Laboratoire de Mathématiques du Queen Mary et Westfield College, pour les très nombreux échanges et l'aide constante qu'il a bien voulu m'apporter tout au long de ce travail. Sans ses conseils infaillibles et son exceptionnelle créativité dans le domaine des groupes quantiques, cette recherche n'aurait jamais atteint les objectifs que je m'étais fixé. Ma reconnaissance va également à Costas Kounnas, de l'Ecole Normale Supérieure, dont la pensée généreuse et la vision étonnamment intuitive éclairent ce travail, notamment dans les domaines de la gravité quantique. Les échanges toujours stimulants que j'ai eu le privilège d'avoir avec lui ont été le fondement de nombre de mes idées ou résultats les plus significatifs. Igniatios Antoniadis, de l' École Polytechnique, a quant à lui orienté ma progression en théorie des cordes et je l'en remercie. De même, Gabriel Veneziano, du CERN, a enrichi de sa vision mon approche de la cosmologie primordiale. Et tout comme Shahn Majid, Dimitri Gourévitch de l'Université de Valenciennes a inspiré certaines de mes recherches dans le domaine de la q-déformation. Qu'il en soit également remercié, comme tous ceux qui ont accepté de faire partie du jury. Que A.M. Poliakov, S. Deser, M. Takesaki, E. Witten, M.Dubois-Violette, G. t'Hooft, J. Demaret, F. Combes, D. Lambert, S.K. Donaldson, C. Vafa, L.L. Vaksman, M. Shifman, R. Jackiw, R. Engeldinger, O. Ogievetsky, N.Yu. Reshetikhin, S. Ferrara, C. Kiefer, R. Haag, T. Damour, L. Alvarez-Gaumé, J.M. Souriau, J. Fröhlich, A. Ashtekar, S. Parmentier, R. Stora, A. Chakrabarti, M. Gromov, P. Fré, E.V. Shuryak, C. Olive, S. Helgason, S.Coleman , M.A. Rieffel, M. Winnink, S.L. Woronowicz, et bien d'autres tout au long des années trouvent ici le témoignage de mes remerciements pour les échanges particulièrement enrichissants que nous avons pu avoir et l'accueil toujours chaleureux qu'ils m'ont réservé. Enfin, ma reconnaissance sincère va vers ceux qui ont relu et supervisé la dernière version de ce travail : S. Majid et D. Gourévitch pour la partie groupes quantiques, C. M. Marle, de Paris VI, pour la partie groupes classiques et géométrie, E. Leichtnam, de l'ENS, pour les algèbres d'opérateurs, C. Kounnas pour les aspects physiques. Je remercie également P. Cartier et M. Enock qui m'ont fait l'honneur de lire attentivement certaines parties de ce travail. Qu'ils soient tous remerciés pour le temps qu'ils m'ont consacré. Dans le même esprit, je salue avec reconnaissance Martine Bauer, dont l'aide si généreuse a permis la réalisation matérielle de ce travail. Enfin, mon affection me porte vers Jacqueline Beytout, inspiratrice de mon tout premier engagement dans cette longue recherche et indéfectible soutien depuis. Nous tenons à remercier le général Novacq, Directeur Général de l'Ecole Polytechnique et toutes les autorités compétentes qui ont permis la soutenance de cette thèse de Doctorat de l'Université de Bourgogne au sein de l'Ecole Polytechnique. INTRODUCTION GENERALE ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I INTRODUCTION GENERALE Les premiers fondements d'une théorie cosmologique explicitement fondée sur l'hypothèse d'un changement de signature de la métrique de l'espace-temps ont été développés par S. Hawking en 1978 [268]. L'hypothèse de Hawking postule le changement discret de la métrique de Lorentz à la métrique Euclidienne définie positive. Inspirée des méthodes Euclidiennes de C.Lanczos [324][325] puis J. Schwinger [454] ou Nakano [408] en théorie constructive des champs, cette hypothèse est aujourd'hui considérée en cosmologie quantique, notamment par G. Gibbons [238] , G.F.R. Ellis et al [198] et d'autres, sur des bases qui restent cependant plutôt formelles. Notre étude, fondée sur les aspects mathématiques des chapitres 1, 2 et 3 (notamment le chap. 3 où nous analysons le changement de signature dans le cadre de la théorie des groupes quantiques) va dans le même sens, mais en introduisant, à l'échelle de Planck, une phase de transition (i.e. superposition ) de la signature au cours du passage Lorentzien Euclidien. 01.1 En général, pour 0 < t temps de Planck 10-43 s, les modèles à changement de signature de la métrique proposent la transformation globale, par rotation de Wick ( = - i t) et sans phase intermédiaire, de la métrique Lorentzienne (+ + + -) en une métrique statique purement Euclidienne (+ + + +), décrite par la fonction d'onde : < (h'ij, ', S2 ) | (h ij, S1 ) > = [g ] [ ] exp [- I (g , )] (0.1) Contrairement au cas Lorentzien, tous les champs commutent dans le cadre Euclidien ( 0), de sorte que les directions genre espace et genre temps, dissymétriques à l'échelle relativiste, sont symétrisées à l'échelle de Planck au sein d'une variété quadri-dimensionnelle sans bords, sans échelle et sans origine, sur laquelle agît SO(4). Ce type de géométrie définit l'hypersphère du type S4 postulée par Hartle-Hawking [266] en gravité quantique. La compatibilité de cette hypothèse avec les contraintes relativistes a été établie par G.F.R. Ellis et al [198] en 1991. Toutefois, dans les modèles cités ci-dessus, (i) la principale justification à l'introduction de la métrique Euclidienne est de permettre la résolution de l'intégrales de chemins par les méthodes de l'analyse complexe. La rotation de Wick n'est alors qu'une transformation de coordonnées, sans fondement physique. Par ailleurs, (ii) l'existence d'une métrique à signature fixe (Lorentzienne ou Euclidienne) à l'échelle de Planck ne paraît pas compatible avec les contraintes de la gravité quantique. Enfin, (iii) l'approche Euclidienne efface la notion de singularité initiale et entre donc en contradiction avec les théorèmes relativistes de singularité prédisant une origine singulière à l'espace-temps. Dès le début de notre travail, il nous est apparu que la méthode consistant à "transporter" à l'échelle de Planck la métrique Lorentzienne g sans modifier sa signature s£ (3, 1), est difficilement compatible avec les contraintes de la gravité quantique. Par ailleurs, l'intéressante proposition de S.Hawking et al [265][268] d'une métrique statique Euclidienne (++++), (récemment développée avec N. Turok [271] sous la forme d'un instanton singulier raccordé à l'espace-temps Lorentzien au voisinage de l'échelle de Planck) outre son aspect formel, ne résout que partiellement ces difficultés tout en en créant d'autres au moins aussi profondes. 01.2 Nous proposons ici une solution nouvelle, fondée sur une possible fluctuation (3, 1) (4, 0) de la signature de la métrique à l'échelle de Planck. Du point de vue mathématique, nous partons des travaux pionniers de M. Flato, A. Lichnerowicz et D. Sternheimer sur les déformations d'algèbres et produits - * (1974) [211], ceux de V.G. Drinfeld (1985) [189], M. Jimbo (1985) [290]291] et S. Majid (1988) [356][357] sur les groupes quantiques, ceux d'A. Connes (1973) [139] sur la classification des facteurs de type III. Du point de vue physique, nous considérons la théorie KMS (1967) [260] et les travaux de A.M. Polyakov (1975) [68] et G. t'Hooft (1976) [488] sur les configurations uploads/Philosophie/ bogdanov-g-fluctu0-quantiques-de-la-signature-de-la-metrique-a-l-x27-echelle-de-planck.pdf