Chapitre 1 La fonction d’onde et l’équation de Schrödinger 1.1 Introduction En

Chapitre 1 La fonction d’onde et l’équation de Schrödinger 1.1 Introduction En physique classique, une particule est décrite par sa position r(t). L’évolution de sa position (la trajectoire de la particule) est donnée par l’équation de Newton md2r dt2 = F(r, t) En physique quantique, en vertu de la dualité onde-corpuscule, la particule est maintenant décrite par une fonction d’onde Ψ(r, t) dont nous décrirons la signification et l’équation qui donne son évolution (l’équation de Schrödinger). 1.2 Interprétation de la fonction d’onde Nous associons maintenant à une particule une quantité Ψ que nous appelons fonction d’onde. Ψ est un champ scalaire dépendant du temps : Ψ = Ψ(r, t) Cette notion de fonction d’onde est à rapprocher des observations expérimentales qui nous ont montré la dualité onde-corpuscule. Une particule a aussi un aspect ondulatoire. Comme pour les phénomènes ondulatoires, Ψ(r, t) est en général une fonction complexe. Ψ(r, t) ∈C 1 2 CHAPITRE 1. LA FONCTION D’ONDE ET L’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER Que représente Ψ ? Nous donnons ici l’interprétation de Born. Cette interprétation relie la quantité ∥Ψ(r)∥2 = Ψ(r)Ψ∗(r), (Ψ∗= conjugué complexe de Ψ) à la notion de densité de probabilité de trouver la particule en r. ∥Ψ(r)∥2 = Densité de probabilité La probabilité de trouver la particule dans un volume dV = d3r autour de r est ∥Ψ(r)∥2 d3r Avec cette interprétation, Ψ est l’amplitude de probabilité. Ψ peut être positive, négative, ou complexe, car seule ΨΨ∗= ∥Ψ∥2 doit être positive. Plus généralement, nous associons à la particule une fonction d’onde Ψ(r, t) complexe. Ψ(r, t) est l’amplitude de probabilité (en anglais : probability amplitude). La quan- tité ∥Ψ∥2 est la densité de probabilité au point r (en anglais : probability density). La probabilité de trouver la particule ou le système dans un volume d3r = dV autour de r est égale à ∥Ψ(r)∥2 d3r = Ψ(r)Ψ∗(r)d3r. La dimension de la densité de probabilité ∥Ψ∥2 est m−3 : h ∥Ψ∥2i = m−3 La connaissance de Ψ(r, t) permet alors (dans l’interprétation de Born) de connaître l’évolution dynamique de la probabilité de trouver la particule dans un volume d3r autour de tout point r en fonction du temps. On pourrait ainsi suivre au cours du temps le lieu de r tel que ∥Ψ(r, t)∥2 d3r ⩾une valeur donnée de la probabilité Si la probabilité est grande pour d3r petit, on pourrait avoir une analogie avec la trajec- toire au sens classique. 1.3 Equation de Schrödinger La question qui se pose est maintenant la suivante : si on poursuit le parallèle avec le mouvement d’une particule, il faut alors trouver une équation pour décrire la fonction d’onde Ψ(r, t). Vous pouvez par exemple vous poser la question suivante : soit un atome d’hydrogène formé d’un proton et d’un électron. La fonction d’onde Ψ(r) permet de calculer la densité de probabilité ∥Ψ∥2 de touver l’électron en un point r. Mais comment trouver la fonction d’onde Ψ ? 1.3. EQUATION DE SCHRÖDINGER 3 Ce fut le mérite du physicien autrichien E. Schrödinger d’avoir posé l’équation qui donne l’évolution de Ψ(r, t), connue sous le nom d’équation de Schrödinger dépendante du temps : iℏ∂ ∂tΨ(r, t) =  −ℏ2 2m∇2 + V (r)  Ψ(r, t) (1.1) où : • ℏ= h 2π = 1.05457 · 10−34 Js, • ∇2 est le laplacien, • m la masse de la particule, • V (r) l’énergie potentielle de la particule au point r. Lorsque l’on cherche une solution de Ψ qui ne dépend pas du temps (solution station- naire), l’équation de Schrödinger indépendante du temps s’écrit :  −ℏ2 2m∇2 + V (r)  Ψ(r) = EΨ(r) (1.2) où E est l’énergie de la particule. Discussion a) D’où vient l’équation de Schrödinger ? Cette équation est postulée (tout comme, par exemple, l’équation de Newton). Sa validité est prouvée par les conséquences que l’on peut en tirer. b) L’équation de Schrödinger est une équation au premier ordre par rapport au temps. La connaissance de Ψ(r, t = 0) suffit pour déterminer l’évolution de Ψ(r, t). En effet, dans l’approche probabiliste de Born, Ψ permet de trouver la probabilité de trouver la particule autour de r en tout temps. La connaissance seule de Ψ(r, t = 0) doit donc suffire pour déterminer l’évolution. c) L’équation de Schrödinger est linéaire. Si Ψ1 et Ψ2 en sont des solutions, alors Ψ3(r, t) = αΨ1(r, t) + βΨ2(r, t) est aussi solution de l’équation de Schrödinger. d) La fonction d’onde Ψ est dite normalisée si Z ∞ −∞ d3rΨ∗Ψ = 1 4 CHAPITRE 1. LA FONCTION D’ONDE ET L’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER e) Conditions sur Ψ : la condition de normalisation précédente impose que Ψ soit de carré sommable. L’interprétation de Born sur ∥Ψ∥2 interdit que Ψ possède plusieurs valeurs pour une seule valeur de r. De plus, comme l’équation de Schrödinger fait inter- venir la dérivée seconde à travers le laplacien ∇2, Ψ et ses premières dérivées doivent être continues. Il y a donc de fortes restrictions sur la classe des fonctions Ψ. Du point de vue mathématique, Ψ est un élément d’un espace de Hilbert. En effet, nous avons : • la propriété de linéarité : si Ψ1 et Ψ2 sont des solutions de l’équation de Schrödinger à carré sommable, alors Ψ = λ1Ψ1 + λ2Ψ2 avec λ1 et λ2 appartenant à C est solution de l’équation de Schrödinger. Ψ est aussi de carré sommable : ∥Ψ∥2 = Z d3r(λ1Ψ1 + λ2Ψ2)(λ1Ψ1 + λ2Ψ2)∗ Z d3r [λ1λ∗ 1Ψ1Ψ∗ 1 + λ2λ∗ 2Ψ2Ψ∗ 2 + λ1λ∗ 2Ψ1Ψ∗ 2 + λ2λ∗ 1Ψ2Ψ∗ 1] Les fonctions Ψ1 et Ψ2 étant de carré sommable, les 4 termes de l’intégrale convergent. • l’existence d’un produit scalaire entre Ψ et ϕ défini comme ⟨Ψ, ϕ⟩= Z d3rΨ∗ϕ Si ⟨Ψ, ϕ⟩= 0, Ψ et ϕ sont dits orthogonaux. Le carré de la norme de Ψ est ∥Ψ∥2 = ⟨Ψ, Ψ⟩⩾0 Le produit scalaire satisfait la propriété ⟨Ψ, ϕ⟩= ⟨ϕ, Ψ⟩∗ Il est linéaire par rapport à ϕ : ⟨Ψ, λ1ϕ1 + λ2ϕ2⟩ = λ1 Z Ψ∗ϕ1d3r + λ2 Z Ψ∗ϕ2d3r = λ1⟨Ψ, ϕ1⟩+ λ2⟨Ψ, ϕ2⟩ De même : ⟨λ1Ψ1 + λ2Ψ2, ϕ⟩ = λ∗ 1 Z Ψ∗ 1ϕd3r + λ∗ 2 Z Ψ∗ 2ϕd3r = λ∗ 1⟨Ψ1, ϕ⟩+ λ∗ 2⟨Ψ2, ϕ⟩ Finalement, le produit scalaire satisfait l’inégalité de Schwarz : ∥⟨Ψ, ϕ⟩∥⩽ p ⟨Ψ, Ψ⟩⟨ϕ, ϕ⟩ 1.4. EXEMPLES DE CALCUL DE Ψ À UNE DIMENSION 5 1.4 Exemples de calcul de Ψ à une dimension Les cas les plus simples sont ceux obtenus à une dimension. L’équation de Schrödinger stationnaire à une dimension s’écrit −ℏ2 2m d2Ψ dx2 + V (x)Ψ = EΨ (1.3) 1.4.1 Cas où V (x) = 0 L’équation de Schrödinger stationnaire à une dimension devient −ℏ2 2m d2Ψ dx2 = EΨ La solution générale est Ψ = A exp{ikx} + B exp{−ikx} avec E = ℏ2k2 2m , et A et B des constantes. Pour vérifier que Ψ est une solution, il suffit de la remplacer dans l’équation de Schrö- dinger : −ℏ2 2m d2Ψ dx2 = ℏ2 2mk2 [A exp{ikx} + B exp{−ikx}] = EΨ en identifiant E = ℏ2k2 2m . Donnons maintenant l’interprétation de Born de Ψ(x). Prenons B = 0 : Ψ(x) = A exp{ikx} La densité de probabilité est ∥Ψ(x)∥2 = ΨΨ∗= ∥A∥2 La densité de probabilité est une constante indépendante de la position. Notez que nous avons ici un problème : la normalisation de Ψ(x) demande que Z ∞ −∞ ∥Ψ∥2 dx = 1 Mais comme ∥Ψ∥2 vaut ∥A∥2, il y a ici un problème mathématique, car l’intégrale diverge ! Quelle est l’interprétation physique du résultat quantique ? Nous décrivons la particule de masse m par la fonction d’onde Ψ(x) = A exp{ikx}. Selon la relation de de Broglie, l’impulsion p de la particule est p = ℏk 6 CHAPITRE 1. LA FONCTION D’ONDE ET L’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER En mécanique non quantique, l’énergie mécanique, en l’absence d’énergie potentielle V (x), est donc : E = Ecin = p2 2m = ℏ2k2 2m C’est le résultat que nous avons obtenu de l’équation de Schrödinger. La théorie quantique nous donne un autre résultat très surprenant. Alors que l’impulsion p est exactement définie (p = ℏk), la densité de probabilité ∥Ψ∥2 est constante, quel que soit x. Nous ne savons pas où se trouve la particule, alors que nous avons une définition exacte de son impulsion ! Nous reviendrons sur ce résultat connu sous le nom de principe d’incertitude de Heisenberg. Notez que nous avons fait la discussion avec Ψ = A exp{ikx}, c’est-à-dire avec k > 0. Les résultats sont également valables si on considère Ψ = B exp{−ikx}. Le vecteur d’onde k est négatif et tous les autres résultats sont également valables. Cas où Ψ(x) = exp{ikx} + exp{−ikx} C’est le cas A = B = 1. Ψ(x) = exp{ikx} + exp{−ikx} = 2 cos(kx) La densité de probabilité ∥Ψ∥2 vaut donc ∥Ψ∥2 = 4 cos2(kx) La densité de probabilité est maximale en kx = nπ, n entier, et nulle en kx = (n + 1 2)π. La uploads/Philosophie/ condition-de-raccordement 1 .pdf

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