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Module Ondelettes du DEA TIS – S. Lasaulce 1 03/09/2010 CHAP 1 : De la transfor

Module Ondelettes du DEA TIS – S. Lasaulce 1 03/09/2010 CHAP 1 : De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes 1. Introduction Les premières idées de Fourier sur l'analyse qui porte son nom remontent à 1807, date de publication de son mémoire sur les décompositions en série, et ont été abouties dans son livre "Théorie analytique de la chaleur" (1822). Dans ce livre, Joseph Fourier montre en particulier comment son formalisme permet de résoudre le problème du calcul de l'évolution temporelle de la température en tout point d'une barre (conductrice de chaleur) chauffée au préalable en un bout et laissée ensuite en évolution libre. Depuis, l'analyse de Fourier a été appliquée à bien d'autres problèmes physiques. Une des causes du succès de ce formalisme est qu'il constitue un outil mathématique qui décrit de manière assez naturelle de nombreuses situations physiques. Le rayonnement thermique, les transmissions radio, les rayons de couleurs du spectre visible, les rayons X, pour ne citer que ces exemples, ne sont finalement que des ondes qui ne diffèrent que par leur … fréquence! Mais l'utilisation intensive de la transformée de Fourier (TF) est aussi et surtout en partie due à la possibilité d'implanter efficacement cette transformation (ainsi que son inverse) dans un système physique. C'est en fait l'algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT en anglais) mis au point par Cooley et Tukey en 1965 qui a permis d'exploiter la TF et d'en faire un outil mathématique de choix. On trouve ainsi des "modules FFT" dans des domaines aussi variés que la mesure (exemple: oscilloscopes numériques), les transmissions (exemples: radio numérique DAB, télévision numérique DVB, réseaux locaux sans fils de type 802.11a), l'informatique (exemple: PC), etc. Cependant, même si personne ne remettra en cause l'utilité de la transformée de Fourier ainsi que son efficacité d'implantation, on rencontre dans la réalité de nombreux signaux que la TF décrit assez mal. Il s'agit en particulier des signaux dits non stationnaires. Il a donc fallu développer de nouveaux outils mathématiques qui permettent de traiter de tels signaux et d'en extraire facilement l'information utile. C'est là que la transformation en ondelettes entre en scène. Avant de définir la transformation en ondelettes, nous allons suivre une démarche naturelle qui va nous permettre de mieux comprendre comment cet outil a été élaboré. Pour cela nous analyserons dans le paragraphe suivant les défauts de la transformation de Fourier. 2. Les limites de la transformation de Fourier Pour illustrer les limitations de la transformée de Fourier nous allons raisonner à partir d'un cas très simple que nous interpréterons mathématiquement. Considérons la figure 1. La figure 1 représente l'amplitude1 de la transformée de Fourier monolatérale en fonction de la fréquence normalisée (normalisation par la fréquence minimale 1 min f f = ). La question que nous nous posons est: à quelle fonction du temps (ou signal) correspond cette transformée de Fourier? 1 Le raisonnement sur l'amplitude pourrait se faire sur la phase de la transformée de Fourier mais celle-ci est plus difficile à interpréter. Module Ondelettes du DEA TIS – S. Lasaulce 2 03/09/2010 Puisqu'il il y a deux pics de fréquence en 1 / 1 = f f et en 3 / 1 = f f , un signal temporel qui convient parfaitement à la transformée de Fourier de la figure 1 est ) 2 sin( ) 2 sin( ) ( 2 1 t f t f t y π π + = . Figure 1 En réalité, le signal qui été utilisé pour la simulation de la figure 1 est le suivant: ) ( ) 2 sin( ) ( ) 2 sin( ) ( 2 1 t u t f t u t f t z − × + × = π π , où la fonction ) (t u représente l'échelon d'Heaviside. Les signaux ) (t y et ) (t z sont pourtant très différents en ce sens que pour le premier signal les deux fréquences existent en permanence alors que pour le second la fréquence 1 f n'existe que sur ] ] 0 ; ∞ − et la fréquence 2 f n'existe que sur [ [ +∞ ; 0 . Nous constatons ici que deux signaux très différents peuvent avoir des transformées de Fourier identiques, tout du moins à l'observation2. Mathématiquement, on peut montrer que pour une durée infinie d'observation de ces signaux, on obtient exactement les mêmes transformées de Fourier (pour l'amplitude et pour la phase). Ce résultat s'explique très simplement en regardant de plus près la définition de la TF d'un signal ) (t x : ∫ +∞ ∞ − − = dt e t x f X ft j π 2 ) ( ) ( . La transformée Fourier au point f est le produit scalaire entre la fonction ) (t x et la fonction ft j e π 2 . L'addition étant commutative, cela veut dire que l'ordre dans lequel sont sommés les différents produits qui contribuent au produit scalaire importe peu. Or la fonction ft j e π 2 oscillant de la même façon sur tout l'axe des réels, cela signifie que tous les points de la fonction sont traités (pondérés) de la même façon. C'est précisément pour cela que l'événement "changement de fréquence de 1 f à 2 f " dans la fonction ) (t z est noyé dans la somme infinie de termes de chacun des produits scalaires (pour chacune des fréquences f ). Il 2 Les simulations des figures 1 et 2 ont été réalisées en échantillonnant les signaux sur environ 164 périodes de signal ( 1 / 164 f ) avec une fréquence d'échantillonnage 1 100 f f e = ( 14 2 échantillons plus exactement). Module Ondelettes du DEA TIS – S. Lasaulce 3 03/09/2010 faut donc bien comprendre ici que la transformation de Fourier ne fait pas disparaître l'information (c'est précisément une des vertus d'un changement de base3) mais une information4 qui peut intéresser fortement le traiteur de signal peut se retrouver répartie sur l'étendue des fréquences et devenir ainsi non détectable sur la transformée de Fourier. Il nous donc modifier la base de fonctions analysantes de manière à être capable de localiser les éventuelles non-stationnarités du signal d'intérêt. Une première idée est de modifier la transformée de Fourier pour lui donner ce pouvoir de localisation, c'est l'idée de la transformation de Fourier à fenêtre. 3. Transformation de Fourier à fenêtre glissante 3.1. Définition Pour donner un pouvoir de localisation aux fonctions analysantes de la transformée de Fourier, qui oscillent avec la même amplitude sur tout l'axe des réels, on pondère ces fonctions par une fonction fenêtre de manière à sélectionner uniquement la partie utile du signal. La fenêtre est bien sûr translatée de manière observer toutes les parties utiles du signal. Concrètement, la transformée de Fourier à fenêtre glissante s'exprime par: ∫ +∞ ∞ − − − = dt t w e t x f X ft j ) ( ) ( ) , ( * 2 τ τ π où ) (t w est la fonction fenêtre qui est à choisir et " "τ est le paramètre de translation de la fenêtre. On notera que la transformée dépend maintenant de deux variables: une variable de fréquence et une variable de localisation temporelle du contenu fréquentiel. Cette transformée nous permet donc bien d'atteindre le but recherché qui était d'avoir des informations sur le signal en temps et en fréquence à partir de la transformation réalisée. Une question qui se pose est de savoir comment choisir cette fonction fenêtre. 3.2. Choix de la fonction fenêtre La forme la plus simple de fenêtre semble être la fonction porte, qui vaut "un" à l'intérieur de la fenêtre et "zéro" partout ailleurs. En supposant ce choix de forme de fenêtre pertinent, il nous reste à choisir la largeur de cette fenêtre. Essayons d'avancer la réalisation de ce choix en appliquant une transformée à fenêtre sur le signal ) (t z défini dans la partie précédente. En choisissant une fenêtre carrée de largeur 1 1 / 1 f T = et un pas de 5 / 1 T pour le paramètre de translation " "τ , nous obtenons la TF à fenêtre de la figure 2. Avec cette fenêtre nous voyons clairement apparaître les deux "régimes" du signal ) (t z , la démarcation entre les deux régimes est très nette sur l'axe du paramètre de translation (le temps). Cependant, selon l'axe des fréquences on ne retrouve pas deux raies en fréquence telles que celles données par la transformée de Fourier. Nous avons donc perdu en résolution fréquentielle en multipliant le signal par une fenêtre étroite. Les lobes que nous voyons sur la figure 2 sont ceux de la transformée de Fourier de la porte. Il est donc clair que plus la porte sera étroite, meilleure 3 La version discrète de la transformation de Fourier, qui est celle utilisée dans les systèmes réels, n'est qu'un simple changement de base au sens vectoriel du terme. 4 En théorie de l'information où l'on considère uploads/Philosophie/ ondelettes-lecture-notes-wave.pdf