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A. P . M. E. P . CAPES épreuve 1 session 2013 Problème 1 : nombres irrationnels

A. P . M. E. P . CAPES épreuve 1 session 2013 Problème 1 : nombres irrationnels L’ensemble des nombres rationnels est noté Q. On rappelle que tout nombre rationnel non nul peut s’écrire sous la forme p q , où p et q sont des entiers relatifs premiers entre eux. Un nombre réel est dit irrationnel s’il n’appartient pas à Q. Dans ce problème, on se propose de démontrer l’irrationalité de quelques nombres réels. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Partie A : quelques exemples de nombres irrationnels 1. Soit n un entier naturel. Démontrer que si pn n’est pas entier, alors il est irra- tionnel. 2. En déduire que si p désigne un nombre premier, alors pp est irrationnel. 3. Démontrer que le nombre ln2 ln3 est irrationnel. 4. On rappelle que e = n X k=0 1 k!. On se propose de démontrer que le nombre e est un nombre irrationnel. Pour cela, on fait l’hypothèse qu’il existe p et q, entiers naturels non nuls, tels que e = p q et on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction. Pour tout entier naturel n, on pose : un = n X k=0 1 k! et vn = un + 1 n ×n! . a. Démontrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont adjacentes, puis mon- trer que : uq ⩽e ⩽vq b. Aboutir à une contradiction en multipliant les termes de cet encadre- ment par q!× q. Partie B : une preuve de l’irrationalité de π On se propose ici de démontrer que le nombre π est un nombre irrationnel. Pour cela, on fait l’hypothèse qu’il existe a et b, entiers naturels non nuls, tels que π = a b et on démontre que cette hypothèse conduit à une contradiction. Étant donnés un entier naturel non nul n et un réel x, on pose : Pn(x) = xn(a −bx)n n! et P0(x) = 1. Étant donné Un entier naturel n, on pose : In = Zπ 0 Pn(x)dx A. P . M. E. P . 1. a. Pour un entier naturel n non nul, exprimer la dérivée de Pn en fonction de Pn−1. b. Calculer sup x∈[0 ; π] |Pn(x)| en fonction de a,b et n. c. Démontrer que : ∀n ∈N, ∀x ∈R, Pn ³ a b −x ´ = Pn(x). d. Démontrer que : ∀n ∈N, In > 0. e. Après avoir justiﬁé que la suite de terme général π n µ a2 4b ¶n tend vers 0, démontrer la convergence de la suite (In)n∈N et déterminer sa limite. 2. Pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre k de Pn est notée P(k) n . Par déﬁni- tion, P(0) n = Pn. En distinguant les trois cas suivants, démontrer que P(k) n (0) et P(k) n ³ a b ´ sont des entiers relatifs : a. 0 ⩽k ⩽n −1 b. n ⩽k ⩽2n c. k ⩾2n +1 Pour le cas b, on pourra utiliser la relation entre P(k) n (0) et le coefﬁcient de xk dans Pn(x). 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, In est un entier relatif. On pourra procéder par intégrations par parties successives. b. Conclure quant à l’hypothèse π = a b . Partie C : développement en série de Engel et applications 1. Soit (an)n∈N une suite croissante d’entiers telle que a0 ⩾2. Démontrer que la suite (Sn)n∈N déﬁnie par : ∀n ∈N Sn = n X k=0 1 a0 ···ak est convergente de limite inférieure ou égale à 1 a0 −1. Si x désigne la limite de la suite (Sn)n∈N on dit que x admet un développe- ment en série de Engel. On notera x = [a0,··· ,an,···]. 2. Soit x ∈]0 ; 1]. On déﬁnit deux suites (xn)n∈N et (an)n∈N en posant x0 = x et : ∀n ∈N an = 1+E µ 1 xn ¶ et xn+1 = anxn−1où E désigne la fonction partie entière. a. Démontrer que les suites (xn)n∈N et (an)n∈N sont bien déﬁnies. b. Démontrer que la suite (xn)n∈N est décroissante. c. Démontrer que la suite (an)n∈N est croissante et que a0 ⩾2. CAPES externe 2 26 novembre 2012 A. P . M. E. P . d. En reprenant les notations de la question 1, démontrer que : ∀n ∈N x = Sn + xn+1 a0 ···an En déduire que x admet un développement en série de Engel. 3. On suppose qu’il existe deux suites distinctes croissantes d’entiers (an)n∈N et (bn)n∈N telles que a0 ⩾2,b0 ⩾2 et : ∀n ∈N [a0,··· ,an,···] = [b0,··· ,bn,···] On pose n0 = min{n ∈N|an ̸= bn} a. Démontrer que £ an0,··· ,an,··· ¤ = £ bn0,··· ,bn,··· ¤ . b. Démontrer que si x = £ an0,··· ,an,··· ¤ alors a0x−1 ⩽x et en déduire que a0 = 1+E µ 1 x ¶ . c. En déduire l’unicité du développement en série de Engel d’un réel donné dans l’intervalle ]0 ; 1]. 4. Déterminer le réel dont le développement en série de Engel est associé à : a. une suite (an)n∈N constante égale à c (c ⩾2). b. la suite (an)n∈N déﬁnie par : ∀n ∈N, an = n +2. c. la suite (an)n∈N déﬁnie par : ∀n ∈N, an = (2n +1)(2n +2). 5. Déterminer le développement en série de Engel du nombre ch ¡p 2 ¢ −2. 6. Démontrer que x ∈]0 ; 1] est rationnel si et seulement si la suite (an)n∈N de son développement en série de Engel est stationnaire. Pour le sens direct, on pourra commencer par procéder à la division eucli- dienne du dénominateur de x par son numérateur. Problème 2 : statistiques et probabilités Partie A : deux indicateurs de dispersion En 1801, un astronome italien, Piazzi découvre une nouvelle planète Cérès, qu’il perd bientôt de vue. Le problème posé alors aux scientiﬁques est le suivant : comment, à partir d’une série de résultats d’observations effectuées par différents astronomes, choisir une valeur qui se rapproche le plus possible de la « vraie position » et prédire ainsi le futur passage de Cérès. Deux options s’affrontent : celle de Laplace, qui pro- pose de minimiser les valeurs absolues des écarts et celle de Gauss et Legendre, qui proposent de minimiser les carrés des écarts. Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul et (x1, ··· , xn), un n-uplet de réels. On déﬁnit sur R les deux fonctions G et L par : G(X ) = n X i=1 (x −xi )2 L(x) = n X i=1 |x −xi | 1. Minimisation de G CAPES externe 3 26 novembre 2012 A. P . M. E. P . a. En écrivant G(x) sous la forme d’un trinôme du second degré, démon- trer que la fonction G admet un minimum sur R et indiquer pour quelle valeur de x il est atteint. b. Que représente d’un point de vue statistique la valeur de x trouvée à la question 1 b ? 2. Minimisation de L On supposera dans cette question que la série est ordonnée, c’est-à-dire que : x1 ⩽x2 ⩽··· ⩽xn. a. Représenter graphiquement la fonction L dans le cas où : n = 3,x1 = −2,x2 = 3,x3 = 4 b. Représenter graphiquement la fonction L dans le cas où : n = 4,x1 = −2,x2 = 2,x3 = 4,x4 = 7 c. Démontrer que la fonction L admet un minimum m sur R et indiquer pour quelle(s) valeur(s) de x il est atteint. On distinguera les cas n pair et n impair. d. Que représentent d’un point de vue statistique les valeurs de x trouvées à la question 2 c ? Le 7 décembre 1801, Cérès sera observée à l’endroit privu par les calculs de Gauss. Il prolongera ce travail en établissant, grâce à la théorie des probabilités, que la répar- tition des erreurs suit une loi normale. Partie B : théorie de l’information, le cas discret La théorie de l’information est un modèle mathématique créé par Claude Shannon en 1948, qui vise à quantiﬁer mathématiquement la notion d’incertitude. Elle a depuis connu des développements aussi bien en statistique qu’en physique théorique ou en théorie du codage. On se place dans cette partie dans un espace probabilisé (Ω,A ,P). Étant donné un entier naturel non nul n, on considère un système complet d’évè- nements A = {A1,··· , An} de probabilités respectives ¡ p1,··· ,pn ¢ toutes non nulles. On déﬁnit l’entropie de ce système par le nombre : H(A) = − n X k=1 pk lnpk Ce nombre quantiﬁe l’incertitude, tandis que son opposé quantiﬁe la quantité d’in- formation. L’entropie doit être maximale lorsqu’aucune hypothèse ne peut être pri- vilégiée. 1. Deux exemples On se place ici dans le cas n = 4. Quatre chevaux sont au départ d’une course, et on note Ai l’évènement : Le cheval numéro i remporte la course. Calculer dans chacun des cas suivants l’entropie du système. a. p1 = p2 = p3 = p4 b. p1 = 1 8,p2 = 1 8,p3 = uploads/Philosophie/ capes-2013-epreuve-1 1 .pdf