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LTID Cours d’automatisme 24/11/2021 2BT-EM-C ALGEBRE DE BOOLE Nom : 1. Algèbre

LTID Cours d’automatisme 24/11/2021 2BT-EM-C ALGEBRE DE BOOLE Nom : 1. Algèbre de Boole Historique : Georges BOOLE, philosophe et mathématicien anglais, publia en 1854 un essai sur les raisonnements logiques portant sur les propositions auxquelles les seules réponses possibles sont oui ou non. L’ensemble des opérations découlant de ces propositions forme une structure mathématique, donc une algèbre, appelée « algèbre de BOOLE ». « L’algèbre de Boole » se caractérise par l’utilisation de variables ne pouvant prendre que deux états distincts. Ces deux états sont représentés par les valeurs 0 et 1. A noter : Cette algèbre de Boole est donc utilisée à chaque fois que, dans un système technique, on souhaite traduire, le comportement d’une grandeur physique sous forme de deux états distincts. Par exemple : - Position de la tige d’un vérin : tige rentrée ou sortie, - Etat d’un contact électrique : ouvert ou fermé - Détection présence d’un objet : présent ou absent - Etat d’un moteur : en rotation ou à l’arrêt etc. etc… Ces deux « états logiques » distincts se traduisent généralement par deux « niveaux de tension » distincts : présence ou absence de tension. 2. Quelques définitions Variable logique : grandeur, représentée par un identificateur (lettre ou nom) qui peut prendre les seules valeurs 0 ou 1. Niveau logique : En électronique, une variable logique est concrétisée par un signal électrique (tension ou courant) qui peut prendre deux niveaux électriques (ou niveaux logiques) : - le niveau logique Haut (H) ou High - le niveau logique Bas (L) ou Low. Cellule FM 1 / 12 Par convention : Variable Logique (ou état logique ) Niveau logique convention positive Niveau logique convention négative 0 Bas (L) Haut (H) 1 Haut (H) Bas (L) Algèbre de BOOLE : Ensemble de variables à 2 états, de valeur, ou état "1" (vrai) ou "0" (faux) et muni d'un petit nombre d'opérateurs fondamentaux : NON, ET, OU. 3. Notion de table de vérité Une table de vérité est une représentation graphique (tableau) faisant connaître la réaction du circuit logique, c’est à dire l’état de la sortie S en fonction de toutes les combinaisons de valeurs (0 ou 1) que peuvent prendre les variables binaires d’entrées E1, E2, …, ..., En. Exemple d’une table de vérité pour une fonction logique à deux entrées E1 et E2 et une sortie S. Le nombre de colonnes est le nombre total d'entrées et de sorties ; Le nombre de lignes est 2 N sachant que "N" est le nombre d’entrées. Exemple : Une fonction de 3 entrées et 1 sortie se représente par une table de 4 colonnes et 8 lignes. 4. Équation logique à 1 d’une sortie « L’équation logique à 1 d’une sortie » traduit sous forme d’une équation mathématique, le comportement de la sortie de la fonction logique. Elle consiste en l’écriture d’une équation des cas où la sortie S de la fonction logique est égale à « 1 ». Cellule FM 2 / 12 Nota : Par abus de langage et par commodité, l’expression « équation logique à 1 de la sortie » est souvent réduite à l’expression « équation logique ». « L’équation logique » peut être trouvée à partir de la table de vérité d’une fonction. Exemple : Rechercher l’équation logique de la fonction « OU EXCLUSIF » dont la table de vérité est donnée au paragraphe précédent (cf. § 3) Ecriture des cas où S est à « 1 » : S= ´ E1E2+E1 ´ E2 Remarque : On verra par la suite qu’il est parfois possible de simplifier une équation logique. 5. Les fonctions logiques de l’algèbre de Boole En général, dans un Système Technique Industriel S.T.I ; la chaîne électronique de traitement de l’information fonctionne avec des variables binaires. Cette chaîne de traitement est constituée par un assemblage de fonctions logiques représentatives de l’électronique numérique. Une fonction logique possède une ou des variables logiques d'entrée et une variable logique de sortie. Cette fonction logique se note par une lettre comme en algèbre. Exemple : F = (A et B) ou C et (non D) Toutes les fonctions logiques sont formées des 3 fonctions de base. Cellule FM 3 / 12 6. Les opérateurs logiques de l’algèbre de Boole a) L’opérateur logique NON (NOT) Equation logique Symbole Européen Symbole Américain Table de vérité S=´ e Chronogramme d’évolution Schéma à contact b) L’opérateur logique OU (OR) c) L’opérateur logique ET (AND) Cellule FM 4 / 12 Equation logique Symbole Européen Symbole Américain Table de vérité S = a + b Chronogramme d’évolution Schéma à contact 7. Les autres opérateurs logiques a) L’opérateur logique OU-NON (NOR) b) L’opérateur logique ET-NON (NAND) Cellule FM 5 / 12 Equation logique Symbole Européen Symbole Américain Table de vérité S = a ∙ b Chronogramme d’évolution Schéma à contact Equation logique Symbole Européen Symbole Américain Table de vérité S= ´ a + b = ´ a ∙ ´ b Chronogramme d’évolution Schéma à contact c) L’opérateur logique OU-EXCLUSIF (XOR) d) L’opérateur logique OUI Cellule FM 6 / 12 Equation logique Symbole Européen Symbole Américain Table de vérité S= ´ a ∙ b = ´ a + ´ b Chronogramme d’évolution Schéma à contact Equation logique Symbole Européen Symbole Américain Table de vérité S = ´ a b + a ´ b Chronogramme d’évolution Schéma à contact Equation logique Symbole Européen Symbole Américain Table de vérité S = e Chronogramme d’évolution Schéma à contact 8. Représentation de fonctions logiques complexes : Le logigramme Le logigramme (ou diagramme logique) permet la représentation graphique d’une fonction logique complexe constituée d’un ensemble d’opérateurs interconnectés. La réalisation d’un logigramme consiste en l’association organisée d’opérateurs logiques traduisant une équation logique sans préjuger de la technologie adoptée. Exemple : Dessiner le logigramme correspondant à l’équation logique S1= ´ ( A∙B)+(C∙D) Cellule FM 7 / 12 9. Propriétés des opérateurs logiques (propriétés de l’algèbre de Boole) Les propriétés suivantes permettent d'effectuer des calculs dans l'algèbre de Boole : Règles Fonction OU Fonction ET Commutativité a + b = b + a a ∙ b = b ∙ a Associativité a + (b + c) = (a + b) + c a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c Distributivité OU par rapport à ET a + (b ∙ c) = (a + b) ∙ (a + c) ET par rapport à OU a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c) Elément neutre a + 0 = a a ∙ 1 = a Complémentarité a + ´ a = 1 a ∙ ´ a = 0 Forçage(absorbant ) a + 1 = 1 a ∙ 0 = 0 Règles de base Règles Fonction OU Fonction ET Nihil potence (involution) ´ a=a Idem potence a + a = a a ∙ a = a Absorption 1 a + ab = a a(a + b) = a Absorption 2 a + ´ a b = a + b a( ´ a + b) = ab Consensus ab + ´ a c + bc = ab +´ ac (a + b)( ´ a + c)(b + c) = (a + b)( ´ a + c) De Morgan ´ a + b = ´ a ∙ ´ b ´ a ∙ b = ´ a + ´ b Cellule FM 8 / 12 10. Conception et optimisation des systèmes à base de logique combinatoire Définition d’un système dit à « logique combinatoire » : Un système est dit "combinatoire" lorsque qu'à une combinaison des variables binaires d'entrée correspond à une (et une seule) combinaison des variables de sorties. Note : on parle de systèmes combinatoires par opposition aux systèmes séquentiels, dans lesquels les variables de sortie dépendent à la fois des variables d'entrée et de l'état antérieur des variables de sortie. 10.1. Conception de systèmes de nature combinatoire La réalisation d'un système combinatoire nécessite un cahier des charges dont l'énoncé permet, en détaillant chaque étape du fonctionnement, de dresser un tableau descriptif complet de tous les états binaires. Nous avons déjà vu que ce tableau s’appelle une table de vérité. De cette table de vérité on peut tirer une expression booléenne qu'il convient de simplifier afin de réduire la complexité de la réalisation. Il existe plusieurs méthodes d'extraction et de simplification des équations booléennes. 1ère méthode (méthode algébrique) : Pour chaque variable de sortie figurant sur la table de vérité, on écrit la "somme" logique des lignes ou la variable de sortie prend la valeur 1. Note : Lorsque les états "1" sont plus nombreux que les états "0", il est avantageux d'écrire le complément de la somme logique des lignes où la variable de sortie prend la valeur 0. Puis on simplifie l'expression obtenue en utilisant les propriétés de l'algèbre de BOOLE. Cette méthode peut convenir pour les cas où le nombre de variables d'entrée ne dépasse pas 2 ou 3. 2ème méthode (méthode graphique) : Dans le cas où le nombre de variables devient trop important, il est plus avantageux uploads/Philosophie/ logique-combinatoire.pdf