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Chapitre III: Système à un degré de liberté Documents à remettre aux étudiants

Chapitre III: Système à un degré de liberté Documents à remettre aux étudiants - Tableau : déplacement statique, raideur et pulsation de quelques systèmes - Tableau de quelques valeurs du coefficient d'amortissement  - La plupart des figures rencontrées durant le cours (chapitre 3) Classification des problèmes de la DDS Nombre de DOF SDOF (1 DDL) MDOF (N DDL) Système dissipatif ou conservatif Vibration amortie C  0 Vibration non amortie C = 0 Si aucune énergie n'est perdue dans le frottement ou autre résistance pendant l'oscillation. Si n'importe quelle énergie est perdue dans le frottement ou autre résistance pendant l'oscillation. Système dissipatif Système conservatif Système à un degré de liberté (1 DDL) Système à plusieurs degrés de liberté (N DDL) Causes produisant la vibration Vibration libre Vibration forcée Si un système est soumis à une force externe (souvent une force répétitive). Si un système, après une 1ère perturbation (excitation) est laissé vibrer seule, la vibration suivante est connue en tant que vibration libre. Aucune force externe n'agit sur le système. Meilleur exemple d’une vibration libre est le pendule Type d’excitation Périodique Apériodique Harmonique Périodique quelconque Transitoire impulsive Déjà vu au chapitre 1 Si toutes les composantes de base d'un système vibratoire (le ressort, la masse, et l'amortisseur), se comportent linéairement, Par conséquent, le principe de superposition s’applique. Vibration linéaire Vibration linéaire ou non Vibration non linéaire Si toutes les composantes de base d'un système vibratoire (le ressort, la masse, et l'amortisseur), se comportent non linéairement, Par conséquent, le principe de superposition ne s’applique pas. Ne fait pas partie du programme Considérant une structure à un étage que l’on représente de façon idéalisée à la figure ci-dessous. Système élémentaire en DDS Un tel système est dit à un degré de liberté, car un seul déplacement suffit à décrire la position de la masse relativement à sa position d’origine. Bien que tous les éléments de la structure contribuent à la masse, à la rigidité et à l’amortissement du système, ces propriétés sont dans le système idéalisé, concentrées dans 3 composantes pures : a) Une composante de masse indéformable, b) Une composante de rigidité c) Une composante d’amortissement La réponse d’un système à 1 degré de liberté (1 DDL) Mise en équation de mouvement L'équation d'équilibre dynamique peut être obtenue à partir de trois méthodes : méthode directe, méthode énergétique et principe des puissances virtuelles . On va utiliser la méthode directe : déplacement Système à 1 degré de liberté (SDOF) Méthode directe Le principe d’Alembert permet d’écrire l’équilibre dynamique du système masse-ressort Les forces s'exerçant sur l'oscillateur de la figure ci-dessus sont : La force de liaison reliée à la vitesse de la masse; dans le cas d'un amortisseur visqueux linéaire, cette force est donnée par l'équation ci-dessous : L’amortisseur visqueux s’oppose à la vitesse par cette force La force de liaison reliée au déplacement u de la masse; dans le cas d'un système linéaire, cette force est donnée par l'équation ci-dessous : Le ressort s'oppose au déplacement par cette force La force extérieure appliquée La force d'inertie s'exerçant sur la masse m égale au produit de celle-ci par l'accélération de la masse. (1) Équation du mouvement d’un système à 1 DDL Cette force s’oppose au sens du mouvement. (1) Interprétation mathématique de l’équation du mouvement (1) : Il s’agit d’une équation différentielle dérivées principe de superposition 2 constantes d’intégration 2 conditions initiales Linéaire d’Ordre 2 Vibration libre Réponse à un système à un seul degré de liberté sous oscillations libres et non amorties Réponse à un système à un seul degré de liberté sous oscillations libres et amorties Réponse à un système à un seul degré de liberté sous oscillations libres et non amorties Rappel : oscillation libre : application d’un choc initial d’une durée très courte. Système sans amortissement (non amorti) : le système est conservatif (C = 0) C’est-à-dire sans dissipation d’énergie vers l’extérieur. L’équation (2) devient : (3) (4) La solution de l’équation (3 )est une fonction harmonique pour le déplacement : Système à 1 degré de liberté (SDOF) et sont l’amplitude et la phase qui dépendent des conditions initiales : est la pulsation (ou fréquence angulaire). L’équation (3) suivante : La pulsation naturelle (propre) est la valeur de  qui satisfait la relation : peut s’écrire : ne dépend que des constantes mécaniques du système. Les constantes et dépendent des conditions initiales. ( est intégré deux fois pour obtenir , d’où deux constantes d’intégration) Les conditions initiales sont le déplacement et la vitesse à l’instant : donc : La principale caractéristique d’un système oscillant ayant un seul degré de liberté dynamique, sans amortissement est la valeur propre du système représentée par la pulsation, la fréquence ou la période. Le déplacement : La réponse à un système à un seul degré de liberté sous oscillations libres et non amorties C’est une fonction harmonique à la pulsation naturelle  dont l’amplitude est imposée par les conditions initiales. Réponse libre du système à un degré de liberté non-amorti (déplacement et vitesse) de pulsation propre . Cette amplitude reste constante car la modélisation n’a pas pris en compte le phénomène de dissipation d’énergie présent dans tout le système. Dans la réalité, une décroissance de l’amplitude avec le temps sera observée. Au terme d’inertie est associée l’énergie cinétique : et au terme de raideur est associée l’énergie potentielle de déformation : Au cours du mouvement de l’oscillateur, la somme est constante, le système est dit conservatif. Preuve : Remarques : La solution de l’équation différentielle peut aussi s’exprimer par la somme d’une fonction sinus et d’une fonction cosinus : En utilisant cette forme de solution, les conditions initiales conduisent à :  Il est aussi possible d’exprimer la solution à l’aide d’une seule fonction cosinus : A partir de l’expression précédente : et A SUIVRE !!!! Ce qui permet de retrouver la même amplitude que précédemment : et conduit à la phase : La solution de l’équation différentielle peut aussi s’exprimer par la forme exponentielle complexe suivante : En utilisant la formule d’Euler : A SUIVRE !!!! Les expressions des principales caractéristiques d’un système oscillant (la pulsation, la fréquence ou la période), ayant un seul degré de liberté dynamique, sans amortissement sont données par : Afin de faciliter les calculs, quelques cas de poutres sont indiqués dans le tableau ci-dessous : Tableau Ust, k et la pulsation Réponse à un système à un seul degré de liberté sous oscillations libres et amorties L’oscillateur est dit dissipatif quand l’amortissement n’est pas nul (c  0). On a montré précédemment que l’équation du mouvement d’un système à 1 DDL est de la forme : (1) Sous oscillation libre et amortie, l’équation (1) devient : (2) En posant L’équation (2) devient : Puisque ne peut pas être nul quel que soit , C’est l’équation caractéristique suivante qui doit être vérifiée : (3) Posons : et L’équation caractéristique devient : Les solutions de l’équation caractéristique (3) sont : (4) D’après l’équation 4, la forme de la solution dépend du signe de la racine carrée. On doit distinguer 3 cas possibles : a) Système sur-amorti Dans ce cas, les racines de l’équation 4 sont des valeurs négatives et réelles. On peut écrire également l’équation 4 de la manière suivante : où Ce qui donne comme solution générale : (cas d’un fort amortissement) La figure ci-dessous montre graphiquement la solution. Réponse typique d’un système sur-amorti. On constate qu’aucune vibration n’est possible. D’ailleurs, ce cas n’a pas d’importance pratique dans l’analyse dynamique des structures de génie civil. b) Système à amortissement critique Dans ce cas, on a 2 racines égales et la solution générale devient : Avec les conditions initiales et à , on obtient : Réponse typique d’un système avec amortissement critique. La figure ci-dessous montre graphiquement la solution. Il n’y a aucune vibration. Mais ce cas représente la limite entre une réponse oscillatoire et une réponse monotone (sans vibration). On définit pour ce cas : Le cas de l’amortissement critique ne possède pas de valeur pratique. On considère toujours les structures de génie civil comme des systèmes sous-amortis avec un amortissement visqueux équivalent inférieur à 20 % critique . c) Système sous-amorti Dans ce cas, les racines de l’équation (4) sont des valeurs complexes. où (Cas d’amortissement faible) La solution générale est donc : En utilisant les relations d’Euler, la solution s’écrit plus simplement : Pour évaluer les constantes A et B, on pose les conditions initiales (à t = 0) : On obtient alors : On peut également écrire l’équation précédente comme suit : où U représente l’amplitude de la réponse et  l’angle de phase : La figure ci-dessous montre graphiquement la solution. et Réponse typique d’un système sous-amorti. Le mouvement est harmonique avec une fréquence circulaire . L’amplitude va en décroissant à cause du terme . On définit : Remarque : En pratique, il n’est pas nécessaire de distinguer la pulsation non amortie et amortie. Exemple : un système avec un amortissement de 20 % critique Pour un amortissement < 20 % critique uploads/Philosophie/ chapitre-3-systeme-a-un-degre-de-liberte.pdf