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1 2 Introduction La théorie des probabilités est une branche des mathématiques

1 2 Introduction La théorie des probabilités est une branche des mathématiques qui permet de modéliser des expériences où le «hasard » intervient et d'en faire l'étude théorique. 3 Modélisation d'une expérience aléatoire Expérience aléatoire : Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est déterminé par le hasard. Il ne peut donc pas être prévu à l'avance avec certitude. 4 Modélisation d'une expérience aléatoire (suite) Exemple : Le lancer d’un dé ordinaire est une expérience aléatoire car le résultat de l’expérience est inconnu au départ. Par contre, le lancer d’un dé tel que toutes les faces portent le numéro 1, ce ne serait pas une expérience aléatoire; car le résultat serait connu: il est certain que le numéro 1 sortirait. 5 Univers: On représente le résultat de cette expérience comme un élément w de l´ensemble Ω (prononcer « oméga ») de tous les résultats possibles. Ω est appelé l'ensemble fondamental ou encore l’univers des possibles (i.e. : Ω représente tous les états possibles dans l’expérience). 6 Modélisation d'une expérience aléatoire (suite) Exemples : 1) Lancer un dé : Ω ={1,2,3,4,5,6} 2) Lancer une pièce de monnaie: Ω={P,F} . 3) Considérer une urne dans laquelle il y a deux boules blanches (B1, B2) et une boule rouge (R). Alors l’épreuve consiste à tirer simultanément deux boules. Dans ce cas la l’univers Ω ={{B1, B2},{B1, R} ; {B2, R}} 7 Exemples (suite): L'univers peut contenir un nombre infini d’éléments. 4) On note le revenu mensuel d'un individu choisi au hasard d’une population donnée. Ω = [ 0 DH, 7 000DH ] (En admettant que le revenu mensuel ne peut excéder 7 000DH.) 8 Evénement: Un sous-ensemble de l’ univers, Ω, est appelée événement. Il est constitué par des issues (ou des résultats) d'une expérience aléatoire. Exemple: A=«La somme des points est supérieur à 10 » est un événement que l'on peut obtenir en lançant deux dés. 9 Modélisation d'une expérience aléatoire (suite) Evénements particuliers: L’événement Ω est appelé événement certain. Il se réalise toujours. Exemple : « Tirer un nombre entre 1 et 6 » en lançant un dé numéroté de 1 à 6 est l'événement certain. 10 Modélisation d'une expérience aléatoire (suite) Evénements particuliers (suite) L’événement , ensemble vide, est appelé événement impossible. Il ne se réalise jamais. Exemple : «Tirer un 7 » est un événement impossible lorsque l'on lance un dé numéroté de 1 à 6. On appelle événement élémentaire une partie de Ω réduite à un seul élément (i.e : un singleton de Ω ). Il se réalisé d’une seule façon. 11 Evénements particuliers (suite) Soit un évènement contraire de A qu’on note par ( ), est l’ ensemble des éventualités (événements élémentaires) de Ω n’appartiennent pas à A. Autrement dit c’est le complémentaire de A dans Ω. 12 Exemple: On lance un dé et on regarde le nombre obtenu. On considère l’événement A : "Le résultat est impair". Son événement contraire est :«Le résultat est pair». 13 Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c’est-à-dire si AB=. Exemple: On tire un dé. Soient l’événement A est « obtenir 2, 4 ou 6 » et l’événement B «obtenir 1». Les événements A et B sont incompatibles (ou disjoints). Evénements particuliers (suite) 14 Les événements étant des ensembles, on utilisera trois operateurs définis sur les ensembles: L’union, « » L’intersection, «∩» Le complémentaire, «\» Soient A et B deux événements d’un univers, . Opérations sur les événements 15 16 Opérations sur les événements (suite) AB (prononcer A inter B)= événement « A et B »: signifie que A et B se réalisent simultanément. AB (prononcer A union B)= événement «A ou B» : signifie qu’au moins un des événements A ou B se réalise. A\B = A: signifie que A se réalise seul. Loi de Morgan E et F étant des événements de Ω, on a :   Généralisation, soient A1, A2, …, An des événements de Ω alors on a: n n i i i=1 i=1 n n i i i=1 i=1 A A A A         Quand Ωest infini non dénombrable on ne peut plus en général considérer que tous les éléments de (Ω) sont des événements. Définition: On appelle tribu ou algèbre (lire sigma-algèbre) sur Ω toute partie, , de (Ω) telle que : Tribu (ou algèbre) d’événements Définition (suite) 1) ; 2) A; (=\A); 3) Si (An)n est une suite d’éléments de alors: et sont dans . A n n   A n n   Tribu grossière ={, } Tribu des parties (appelée aussi tribu discrète) = () Tribu des boréliens ={]a,+[, a(ou )}, lorsque =  Tribu des boréliens ={]a,b[, a<b, (a,b) ²}, lorsque =I intervalle de . Autres exemples de tribus ={A, , , }; ={a,b,c,d}, ={,{a},{b,c,d}, } Exemples : Le Choix d’une tribu se fait en fonction de l’information qu’on a sur le problème. Lorsque l’univers est fini ou dénombrable, on travaille généralement avec la tribu discrète (= ()). Lorsque l’univers est infini (= ou I) on travaille avec la tribu borélienne. Choix d’une tribu : L’idée est de construire un cadre mathématique (un modèle probabiliste) où on cherche à remplir les conditions suivantes : Attribuer une probabilité à toute partie de . Respecter quelques règles simples de calcul. Dans la pratique, on attribue une probabilité, non pas à toute partie de , mais seulement IIEspaces probabilisés aux parties appartenant à une certaine classe , en général contenue dans l’ensemble P(), où est l’ensemble des événements élémentaires. Le but est de construire un triplet (,,P) avec lequel on peut étudier (modéliser) toute expérience aléatoire. IIEspaces probabilisés (suite) Définition : On appelle espace probabilisable (,) tout couple formé d’un ensemble non vide  . A) Espace probabilisable Définition : On appelle "espace probabilisé" tout triplet (,,P), où P est une probabilité sur (,). B) Espace probabilisé Définition On appelle probabilité (ou mesure de probabilité) sur algèbre  toute application P: [0; 1] AP(A) vérifiant les deux axiomes suivants : C) Probabilité 1) P() = 1. 2) Pour toute suite A1,A2, . . ., Ai,… d’événements de disjoints ( i.e. pour tout i j, AiAj=), on a: Dès lors que P est définie, le triplet (, , P) s’appelle un espace probabilisé. C) Probabilité (suite) Quand une expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois, la fréquence relative, n(A), de réalisation d'un événement se rapproche d'une valeur particulière : C’est la probabilité de réalisation de cet événement. En effet, Blaise Pascal (1623-1662), Pierre Fermat (1601-1665) Interprétation Avec N répétitions d’une expérience aléatoire, n(A) le nombre de fois que l’événement A s’est produit. P(A) est la probabilité de l’événement A. C’est la loi des grands nombres. Propriétés Soit P une probabilité définit de vers [0,1], nous pouvons établir les propriétés suivantes: 1)P()=0 ; 2)P( )=1P(A) (  3)AB alors P(A)P(B) (P est croissante) ; 4)P(AB)= P(A)+ P(B)P(AB). Probabilités discrètes (probabilité en univers fini ou dénombrable) On suppose que l'ensemble des événements possibles est fini ou dénombrable. On note (= {0,…,n,…}= {n, n} où les points i sont distincts) l'ensemble des résultats dénombrable. On définit la probabilité pi=p{i} de chaque résultat élémentaire i tels que : 0 ≤pi ≤1 et =1 La probabilité de l’événement quelconque A, est: p(A)= i Cas d’un univers fini équiprobable C’est le cas où cardinal de est fini, égal à N, et où tous les pi sont égaux (forcément à 1/N). On notera que si A est une partie de , on a alors :   ( ) cardinal A A p A cardinal     Cette probabilité est appelée probabilité uniforme sur Ω. Exemples: Dans l’exemple précédent du lancer de dé, on a nomme A l’événement « obtenir 2 ou 5 », donc A={2,5}. On a: (A) 2 P(A)= ( ) 6 card card   On tire avec une pièce non truquée jusqu’à obtenir pile. L’univers est *, et pour n*, on a évidemment 1 P( )= . 2n n a) Probabilité conditionnelle Définition: Si P(B)>0, on appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, le réel : PB(A) = P(A|B) = b) Formule des probabilités composées Il est courant de connaître directement P(A|B), ce qui permet de calculer la probabilité conjointe par la formule de probabilités composées = P(A|B)× III Conditionnement et Indépendance c) Indépendance d’événements Définition: Soit (; ; P) un espace probabilisé. On dit que deux événements A et B sont indépendants si l’on a la relation : P(AB)=P(A)×P(B) Théorème : Si A et B sont deux évènements indépendants et que P(B)≠0 alors ceci équivaut à affirmer que PB(A) = P(A|B) = P(A) Interprétation: Lorsque deux évènements sont indépendants, le fait que l’un des évènements soit réalisé, n’apporte aucune information sur la réalisation de l’autre Propriété: Soient A et B deux événements tels que P(B)>0, alors P(A|B) = P(B|A) Cette formule permet de lier les probabilités conditionnelles P(A|B) et P(B|A). D) PartitionProbabilités totales D.1) Partition Les événements B1, B2, …, Bn,... forment uploads/Philosophie/ chapitre1-probabilite-gemi-s1-2021-22.pdf