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M2 - PROBABILITÉS Cours de pré-rentrée Laurent Mazliak 5 avril 2020 ii Avant-Pr

M2 - PROBABILITÉS Cours de pré-rentrée Laurent Mazliak 5 avril 2020 ii Avant-Propos Que serait-ce que les Jésuites sans la probabilité et que la probabilité sans les Jésuites? Otez la probabilité on ne peut plus plaire au monde; met- tez la probabilité on ne peut plus lui déplaire. B. Pascal, Pensées ([22], p.412) Le présent polycopié est en très grande partie composé à partir de l’ouvrage [17] (mais j’en ai proﬁté pour corriger de nombreuses coquilles qui le parsemaient... sans douter un instant qu’il en reste encore plein!). Il considère connus les principaux résultats de la théorie de la mesure et de l’intégration, et contient évidemment beaucoup plus que ce qui sera fait pendant les deux semaines de pré-rentrée. Un chapitre initial rassemble les principaux résultats de la théorie de la mesure qui seront utilisés en permanence par la suite. Ce chapitre ne contient cependant aucune démonstra- tion. Après avoir déﬁni et étudié des propriétés générales des espaces de probabilités et des variables aléatoires, on passe à l’étude des convergences de suites de variables puis à l’étude du conditionnement. L’étude des vecteurs gaussiens est présentée ensuite ainsi que quelques éléments sur le processus de Poisson, la simulation et les martingales à temps discret (dont le chapitre est repris de [2]) . Par contre, les chaînes de Markov, qui font l’objet d’un autre cours n’y sont pas abordées. Pour ce qui concerne les corrections des exercices sur les martingales, ainsi qu’un cours sur les chaînes de Markov on pourra d’ailleurs se reporter à l’ouvrage indispensable (!) [2]. Le cours est émaillé de nombreux exercices, dont beaucoup, repérés par le signe ♦sont intégralement corrigés dans [17] iii Table des matières Les probabilités hier et aujourd’hui 1 1 Rappels d’intégration 5 2 Espaces et mesures de probabilités 11 2.1 Espaces de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Théorème d’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Application : Construction de la mesure de Lebesgue λ sur [0,1]. . . . . 15 2.3 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Variables aléatoires 19 3.1 Déﬁnitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Lois des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Notions sur les processus à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 Différents types de convergences 37 4.1 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Liens entre les différentes convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5 Convergences spatiales 41 5.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Convergence des séries de variables indépendantes . . . . . . . . . . . . 43 6 Convergence en loi unidimensionnelle 49 6.1 Fonctions de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.3 Etude de la convergence en loi unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . 53 6.4 Le théorème limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7 Théorèmes limites dans Rk 63 7.1 Convergence faible et suites tendues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.2 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.3 Quelques prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8 Espérance conditionnelle 71 8.1 Construction de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2 Propriétés de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 v vi Table des matières 9 Lois conditionnelles 75 9.1 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10 Vecteurs gaussiens 79 10.1 Distributions normales dans Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 10.2 Le Théorème Limite Central dans Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10.3 Vecteurs gaussiens et conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 11 Simulation 87 11.1 Quelques méthodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.1.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.1.2 Méthode de l’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 11.1.3 Méthode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 11.2 Simulation de lois particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.2.1 Loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.2.2 Loi de Poisson de paramètre λ > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 89 11.2.3 Variable normale réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 11.3 Calculs d’espérances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 11.3.1 Méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 11.3.2 Suites à discrépance faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 12 Martingales à temps discret 93 12.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 12.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 12.3 Le théorème d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 12.4 Inégalités maximales . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ poly-m2-2019-2020-pdf.pdf