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Cours de Probabilités U.F.R. Maths-Info, U.F.H B, Cocody i Prof. Auguste AMAN T

Cours de Probabilités U.F.R. Maths-Info, U.F.H B, Cocody i Prof. Auguste AMAN Table des matières 1. Cardinal d’un ensemble ﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Principes de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1. Principe additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. Principe multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1. Arrangements avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2. Arrangements sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.3. Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.1. Combinaison sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2. Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.3. Combinaison avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5. Quel modèle choisir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Espace probabilisé 8 1. Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. Modélisation d’une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Probabilités conditionnelles, indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.1. Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.2. Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Variables aléatoires réelles 18 1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Variables aléatoitrs réelles usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Variables aléatoires discrète usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Variables aléatoires absolument continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Fonctions génératrice-Fonction caractéristique 24 1. Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1. Fonction génératrice de moments d’une v.a. entière ou continue . . . . . . . . 25 ii TABLE DES MATIÈRES 2. Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES 27 1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Couple de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Couple de variables aléatoires continues à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4. Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. Théorème de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 CONVERGENCE DE SUITE DE VARIABLES ALEATOIRES 31 1. Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Convergence en probabiité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Convergence en loi et convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Théorème central limite (TCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 U.F.R. Maths-Info, U.F.H B, Cocody iii Prof. Auguste AMAN TABLE DES MATIÈRES Partie I : Denombrement U.F.R. Maths-Info, U.F.H B, Cocody 1 Prof. Auguste AMAN Denombrement Le dénombrement consiste à déterminer le nombre d’éléments d’un ensemble ﬁni. Ce chapitre fournit des méthodes de dénombrement particulirement utiles en probabilités. 1. Cardinal d’un ensemble ﬁni Déﬁnition 0.1. Un ensemble E non vide est dit ﬁni s’il existe un entier n et une bijection de {1, 2, . . . , n} sur E. Lorsqu’il existe, l’entier n est unique et est noté Card(E). C’est le cardinal ou le nombre d’éléments de E Déﬁnition 0.2. Un ensemble E est dit dénombrable s’il existe une bijection de N sur E. Un ensemble E est dit inﬁni non dénombrable s’il n’est ni ﬁni, ni dénombrable. Soit E un ensemble ﬁni et A, B deux parties de E. Proposition 0.1. 1. Si ¯ A est le complémentaire de A dans E alors Card( ¯ uploads/Philosophie/ cm-proba-l2-actuariat-mi.pdf