Cours d’algèbre 1 Filière MIP-MIPC premier semestre . . . . . . . . . . . . . .

Cours d’algèbre 1 Filière MIP-MIPC premier semestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre : Logique et raisonnement (Logique (partie 1)) Karim KREIT FST-UCA Copyright © 2020-2021 Karim KREIT Copying All rights reserved. Art. No xxxxx ISBN xxx–xx–xxxx–xx–x Edition 0.0 Published by FST-UCA Table des matières 1 Logique et raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Logique ................................................................................................... 4 1.1.1 Assertions et proposition .................................................................. 4 1.1.2 Connecteurs logiques ....................................................................... 5 1.1.3 Quantificateurs ................................................................................ 9 1.2 Modes de raisonnement ......................................................................... 11 1.2.1 Raisonnement direct (déduction) ..................................................... 11 1.2.2 Cas par cas (disjonction) ................................................................ 12 1.2.3 Contraposée .................................................................................. 12 1.2.4 Absurde ........................................................................................ 13 1.2.5 Contre-exemple ............................................................................. 13 1.2.6 Récurrence .................................................................................... 13 3 1. Logique et raisonnement 1.1 Logique ................................................................... 4 1.2 Modes de raisonnement ........................................... 11 1.1 Logique Ce chapitre collecte un langage et outils de logique pour les mathématiques 1.1.1 Assertions et proposition On appelle proposition (ou assertion) tout énoncé P pour lequel on peut attribuer, sans ambiguïté, la valeur "vrai" ou la valeur "faux", pas les deux en même temps. Definition 1.1 (Proposition). Exemple 1.1 • P: " Le carré d’un nombre réel est positive. " est une proposition "Vraie". • Q: " 27 est un nombre premier " est une proposition "Fausse". • Notons P(n) la proposition " n ∈N et n est un multiple de 5. " • P(0) et P(5) sont vraies. P(1) et P(12) sont fausses. On dit que la proposition P(n) dépend de n. Selon le cas, un énoncé mathématique pourra porter des noms différents. • Axiome : c’est un Proposition considérée comme évidente, admise sans démonstration. • Théorème : c’est un résultat important, dont on démontre ou on admet qu’il est vrai, et qui doit être connu par cœur. • Lemme : c’est un résultat démontré, qui constitue une étape dans la démonstration d’un théorème. • Corolaire : c’est une conséquence facile d’un théorème ou d’une proposition. Étant donné un ensemble E. Toute proposition P dépendant d’une ou plusieurs variables x de E on l’appelle forme propositionnelle à x. Elle est vraie ou fausse selon la valeur de x. Definition 1.2 (Forme propositionnelle). 4 Chapitre 1. Logique et raisonnement Exemple 1.2 Soit la forme propositionnelle R, P(x) : " x2 ⩾1 " . • La proposition P(3) = 9 ⩾1 est vraie. • La proposition P(0.5) = 0.25 ⩾1 est fausse. Notation: Une table de vérité décrit la vérité d’une assertions A, selon qu’elles sont vraies (V ) ou fausses (F). Pour simplification on note parfois • Vrai (Vraie) par: V ou 1. • Faux (Fausse) par: F ou 0. 1.1.2 Connecteurs logiques Négation " non " La négation d’une proposition P, qu’on note " non P " ou ℸP ou parfois P est une nouvelle proposition tel que: • P est vraie si P est fausse. • P est fausse si P est vraie. Sa table de vérité illustré ci-dessous P V F ℸP F V Figure 1.1 – Table de vérité de " ℸP " Exemple 1.3 Dans R, " ℸ(x ⩽y) " est " (x > y) ". Si P et Q sont deux propositions, nous allons définir de nouvelles propositions construites à partir de P et de Q. Conjonction logique " et " La proposition " P et Q " qu’on note " P ∧Q " est vraie si les deux propositions P, Q sont vraies. La proposition " P et Q " est fausse sinon. On résume ceci en une table de vérité : P Q P ∧Q V V V V F F F F F F F F Table 1.1 – Table de vérité de " P et Q " Algèbre 1 5 K. Kreit 1.1. Logique Exemple 1.4 Soient les deux proposition suivantes P : " Le nombre n est premier " et Q: " Le nombre n est paire " alors la proposition " P et Q " est vraie si ce nombre est "paire et premier" (n = 2) et est fausse sinon. Disjonction logique " ou " La proposition " P ou Q " qu’on note " P ∨Q " est vraie si l’une (au moins) des deux propositions P, Q est vraie. La proposition " P ou Q " est fausse si les deux propositions P et Q sont fausses. On reprend ceci dans la table de vérité : P Q P ∨Q V V V V F V F V V F F F Table 1.2 – Table de vérité de " P ou Q " Exemple 1.5 • Soient P : " Cette carte est un as " et Q: " Cette carte est un cœur " alors l’assertion " P ou Q " est vraie si la carte est un as ou bien un cœur. • La proposition P : " 9 > 8 et 8 −9 = 1 " est vraie Implication logique " = ⇒" Soient P et Q deux propositions. La proposition " (ℸP) ou Q " se note par " P = ⇒Q ". Se lit " P implique Q ". Elle se lit souvent aussi " si P est vraie alors Q est vraie " ou " si P alors Q ". Definition 1.3. Sa table de vérité est donc la suivante: P Q P = ⇒Q V V V V F F F V V F F V Table 1.3 – Table de vérité de " P = ⇒Q " Algèbre 1 6 K. Kreit Chapitre 1. Logique et raisonnement La proposition "P = ⇒Q" est fausse seulement dans le cas ou P est vraie et Q est fausse. Remarque 1.1. Exemple 1.6 • " x = 1 = ⇒x2 = 1 " est vraie. • " sin(θ) = 0 = ⇒θ = π 2 " est fausse. • " 1 + 6 = 5 = ⇒ √ 2 = 2 " est vraie ! Eh oui, si P est fausse alors la proposition " P = ⇒Q " est toujours vraie. Soient P et Q deux propositions: • La réciproque de ”P = ⇒Q” est la proposition ”Q = ⇒P”. • La contraposée de ”P = ⇒Q” est la proposition ”ℸQ = ⇒ℸP”. Definition 1.4 (Réciproque-contraposée). Équivalence (bi-implication) " ⇐ ⇒" Équivalence Soient P et Q deux propositions. L’équivalence entre ces deux propositions est définie par la conjonction de la double implication: " (P = ⇒Q) et (Q = ⇒P) ". et se note par " P ⇐ ⇒Q " On dira " P est équivalent à Q " ou " P équivaut à Q " ou " P si et seulement si Q ". Cette proposition est vraie lorsque les deux propositions P et Q ont la même valeur de vérité. Definition 1.5. Algèbre 1 7 K. Kreit 1.1. Logique P Q P = ⇒Q Q = ⇒P Q ⇐ ⇒P V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Table 1.4 – Table de vérité de " P ⇐ ⇒Q " Exemple 1.7 • Pour x,x′ ∈R, l’équivalence " x · x′ = 0 ⇐ ⇒(x = 0 ou x′ = 0) " est vraie. • Voici une équivalence toujours fausse (quelle que soit l’assertion P) : " P ⇐ ⇒ℸP ". Une tautologie, est une assertion vraie quelles que soient les valeurs de vérité des éléments qui la composent. Definition 1.6. Soient P,Q,R trois assertions. Les propositions suivantes sont des tautologies: a) P ⇐ ⇒ℸ(ℸ(P)) b) (P ∧Q) ⇐ ⇒(Q ∧P) b’) (P ∨Q) ⇐ ⇒(Q ∨P) c) ℸ(P ∧Q) ⇐ ⇒(ℸP) ∨(ℸQ) c’) ℸ(P ∨Q) ⇐ ⇒(ℸP) ∧(ℸQ) d)  P ∧(Q ∨R)  ⇐ ⇒(P ∧Q) ∨(P ∧R) d’)  P ∨(Q ∧R)  ⇐ ⇒(P ∨Q) ∧(P ∨R) e) " P = ⇒Q " ⇐ ⇒" ℸ(Q) = ⇒ℸ(P) " f)          P ⇐ ⇒Q et Q ⇐ ⇒R = ⇒P ⇐ ⇒R Proposition 1.1. Démonstration. Il suffit de comparer les deux tables de vérité pour chaque cas. Algèbre 1 8 K. Kreit Chapitre 1. Logique et raisonnement 1.1.3 Quantificateurs Le quantificateur universel ∀: " Pour tout " L’assertion ∀x ∈E : P(x) est une proposition vraie lorsque les assertions P(x) sont vraies pour tous les élé- ments x de l’ensemble E. On lit: • " Pour tout x appartenant à E, P(x) est vraie ". • " Quel que soit x de E, P(x) est vérifiée ". • " Tous les x de E vérifient P(x) ". Definition 1.7. Exemple 1.8 • " ∀x ∈R (x2 > 1) " est une uploads/Philosophie/ 1-logique-et-raisonnement.pdf

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