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Probabilité C.JERRY Université Moulay Ismail Faculté des Sciences Juridiques Ec

Probabilité C.JERRY Université Moulay Ismail Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales de Meknes March 4, 2020 Table des Matières I Analyse combinatoire/Dénombrement Principe multiplicatif Arrangement Permutation Combinaison Théorie des ensembles et de probabilité Notions sur la théorie des ensembles Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) Notion de probabilité Probabilités conditionnelles et composées Variable aléatoire Déﬁnition générale Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue Lois de Probabilité Usuelles Lois Usuelles Discrètes Lois Usuelles Continue Dénombrement Déﬁnition: L ’analyse combinatoire est le développement de quelques techniques permettant de déterminer le nombre de résultat possibles à la réalisation d’une experience où d’un évenement particulier. Elle permet de recenser les dispositions qu’il est possible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments. une disposition est un sous ensembles ordonnées ou non d’un ensemble. Les techniques de dénombrements sont utiles pour le calcul de probabilité des événements équiprobables. Table des Matières I Analyse combinatoire/Dénombrement Principe multiplicatif Arrangement Permutation Combinaison Théorie des ensembles et de probabilité Notions sur la théorie des ensembles Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) Notion de probabilité Probabilités conditionnelles et composées Variable aléatoire Déﬁnition générale Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue Lois de Probabilité Usuelles Lois Usuelles Discrètes Lois Usuelles Continue Principe multiplicatif Soit une expérience qui comporte 2 étapes : la 1ère qui a p résultats possibles et chacun de ces résultats donne lieu à q résultats lors de la 2ème étape. Alors l’expérience a p × q résultats possibles. Autrement dit : Le principe multiplicatif peut s’énoncer ainsi : si un événement A peut se produire de p façons et si un événement B peut se produire de q façons, la réalisation de A suivie de B peut se produire de p × q façons. ▶Si chacune des étapes d’un choix séffectue avec chacune des autres, on applique alors la règle de multiplication. Par contre, ▶Si un choix peut se faire ou bien d’une façon ou bien d’une autre, on applique la règle d’addition. Principe multiplicatif: Exemple Conséquences Si une expérience consiste à répéter n fois de façons indépendantes une même expérience qui a p résultats possibles, alors on a pn = p × p × p · · · × p ( n fois) résultats possibles. Exemple Une urne contient 4 boules, une noire, une blanche, une rouge et une verte. On effectue deux tirages successifs avec remise. Combien y-a-t-il de résultats possibles ? Au total il y a 4 × 4 = 16. Table des Matières I Analyse combinatoire/Dénombrement Principe multiplicatif Arrangement Permutation Combinaison Théorie des ensembles et de probabilité Notions sur la théorie des ensembles Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) Notion de probabilité Probabilités conditionnelles et composées Variable aléatoire Déﬁnition générale Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue Lois de Probabilité Usuelles Lois Usuelles Discrètes Lois Usuelles Continue Arrangement sans répétition Déﬁnition Un arrangement de p éléments parmi n, désigne toute disposition ordonnée de p éléments distincts parmi n éléments distincts (la répétition n’étant pas permise). C’est une façon de ranger p éléments distincts pris parmi n éléments distincts en tenant compte de l’ordre. Le nombre d’arrangement de p objets pris parmis n est noté: Ap n = n! (n −p)! Remarque ▶On a nécessairement 1 ≤p ≤n et n, p ∈N∗. ▶Si n < p, alors Ap n = 0. ▶Deux arrangementsde p objets sont donc distincts s’ils diffèrent par la nature des objets qui les composent ou par leur ordre dans la suite Arrangement sans répétition: Exemple Exemple Considérons 7 personnes qui sont candidats pour occuper 3 postes. De conbien de façon différentes peut-on pourvoir ces 3 postes. ▶Pour le 1er poste on a 7 possibilités. ▶Pour le 2ème poste on a 6 possibilités. ▶Pour le 3ème poste on a 5 possibilités. Au total, il y a 7 × 6 × 5 = 210 = A3 7 possibilités. Arrangement avec répétition Déﬁnition Lorsque un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le nombre d’arrangement avec répétition de p objets pris parmis n est alors: np avec 1 ≤p ≤n Remarque ▶Pour le première objet tiré, on a n possibilités. ▶Pour le deuxième objet tiré, on a n possibilités. de proche en proche on a : ▶Pour le pème objet tiré, on a n possibilités. Ainsi, au total il y a : n × n × n × n · · · × n | {z } = np p fois Arrangement avec répétition: Exemple Exemple Le nombre de code possible de 4 chiffres pour accéder au compte bancaire en utilisant une carte de guichet est: 10 × 10 × 10 × 10 = 104 Pour chaque chiffre du code en question il y’a 10 numéros possible de 0 à 9. Table des Matières I Analyse combinatoire/Dénombrement Principe multiplicatif Arrangement Permutation Combinaison Théorie des ensembles et de probabilité Notions sur la théorie des ensembles Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) Notion de probabilité Probabilités conditionnelles et composées Variable aléatoire Déﬁnition générale Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue Lois de Probabilité Usuelles Lois Usuelles Discrètes Lois Usuelles Continue Permutation sans répétition Déﬁnition Une permutation de n éléments distincts est une disposition ordonnée de ces n éléments. Le nombre de permutation sans répétition de n objets est: Pn = n! = n × (n −1) × (n −2) × · · · × 3 × 2 × 1 Remarque La permutation sans répétition de n objets constitue un cas particulier d’arrangement sans répétition de p objets pris parmi n lorsque n = p. Ainsi le nombre de permutation sans répétition de n objets est: An n = n! (n −n)! = n! Permutation sans répétition: Exemple Exemple Considérons 4 personnes qui prennent places successivement sur un bac à 4 places. Combien de dispositions ordonnées (c.à.d permutations sans répétition) existe-t-il ? ▶La première personne a le choix entre 4 places = ⇒4 dispositions possibles pour cette personne. ▶La deuxième personne n’a le choix qu’entre 3 places = ⇒ 4 × 3 dispositions possibles pour ces deux personnes. ▶La troisième personne n’a le choix qu’entre 2 places = ⇒ 4 × 3 × 2 dispositions possibles pour ces trois personnes. ▶La quatrième personne n’a le choix qu’entre une seule place = ⇒4 × 3 × 2 × 1 dispositions possibles pour ces personnes. Ainsi, le nombre de dispositions ordonnées (permutations sans répétition) est donc : P4 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Permutation avec répétition Déﬁnition Le nombre de permutation avec répétition de n objets dont n1 sont semblables, n2 sont semblables, · · · , nk sont semblables est : n! n1!n2! · · · nk!. En effet, les permutations de k objets identiques sont toutes identiques et ne comptent que pour une seul permutation. Permutation avec répétition: Exemple Exemple Considérons le mot "CELLULE". Le nombre de mots possible (avec ou sans signiﬁcation) que l’on peut écrire en permutant ces 7 lettres est: 7! 2!3! = 420 mots possibles. En considérant deux groupes de lettres identiques: L(3 fois) et E(2 fois). Table des Matières I Analyse combinatoire/Dénombrement Principe multiplicatif Arrangement Permutation Combinaison Théorie des ensembles et de probabilité Notions sur la théorie des ensembles Notions générales :(Vocabulaire probabiliste) Notion de probabilité Probabilités conditionnelles et composées Variable aléatoire Déﬁnition générale Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue Lois de Probabilité Usuelles Lois Usuelles Discrètes Lois Usuelles Continue Combinaison sans répétition Déﬁnition Une "combinaison sans répétitions" est une suite non-ordonnée (dont l’ordre ne nous intéresse pas!) de p éléments tous différents choisis parmi n objets distincts et est par déﬁnition notée: Cp n = n! p!(n −p)! Combinaison sans répétition: Propriétés et exemple Remarque et propriétés On a nécessairement 1 ≤p ≤n et n, p ∈N∗. ▶Si n < p, alors Cp n = 0. ▶C0 n = Cn n = 1. ▶Cp n+1 = Cp−1 n + Cp n ▶(a + b)n = n X k=0 Ck nakbn−k Formule de Binôme de Newton. Exemple La formation d’une déléguation de 5 personnes parmi un groupe de 50 constitue une combinaison avec p = 5 et n = 50. Donc le nombre de délégation possible est: C5 50 = 2118760 Combinaison avec répétition Déﬁnition Une "combinaison avec répétitions" de p éléments parmi n est une collection de p éléments non ordonnée, et non nécessairement distincts. Le nombre de combinaison de p objets parmi n avec répétition est: Cp n+p−1 = (n + p −1)! p!(n −1)! Combinaison avec répétition: Exemple Exemple Introduisons ce type de combinaison directement avec un exemple et une approche ingénieuse que l’on doit au physicien prix Nobel de physique 1938: Enrico Fermi. Considérons {a, b, c, d, e, f} un ensemble ayant un nombre n d’éléments égal à 6 et dont nous tirons un nombre p égal à 8. Nous souhaiterions calculer le nombre de combinaisons avec répétitions des éléments d’un ensemble de départ de cardinal 6 dans une ensemble d’arrivée de cardinal 8. Donc le nombre de combinaison avec répétition est: C8 6+8−1 = C8 13 = 1287 Table des Matières I Analyse combinatoire/Dénombrement Principe multiplicatif Arrangement Permutation Combinaison Théorie des ensembles et de probabilité Notions sur la théorie des uploads/Philosophie/ cours-probabilite-pdf.pdf