c ⃝Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes 1 Le corps C des nombres comple

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes 1 Le corps C des nombres complexes Définition (Loi de composition interne) Soit E un ensemble. On appelle loi (de composition) interne sur E, ou même loi sur E, toute fonction de E × E dans E.    Explication Une loi interne, c’est ce que vous avez appelé une « opération » dans les classes antérieures : l’addition des réels, la multiplication des réels, l’addition des vecteurs. . . Dans tous les cas, une loi interne transforme deux objets d’un certain type — des vecteurs − → u et − → v par exemple — en un nouvel objet du même type — le vecteur − → u + − → v . Nous supposerons dans ce chapitre que nous connaissons parfaitement l’ensemble R des réels muni de ses deux lois + et × d’addition et de multiplication. Partant de là, nous allons construire le corps C des nombres complexes, c’est-à-dire justifier qu’un tel ensemble C existe sans contradiction avec toutes les propriétés que nous voulons lui donner. Il ne suffit pas de décréter qu’un monde existe avec telle et telle propriétés pour qu’il existe réellement : encore faut-il qu’il ne soit pas contradictoire. • Notre point de départ, c’est l’ensemble R2, identifié géométriquement à un plan muni d’un repère orthonormal direct O, − → ı , − →   . Tout vecteur et tout point du plan sont ainsi identifiés à leurs coordonnées dans ce repère. On définit alors sur R2 deux lois de composition internes ⊕et ⊗de la façon suivante. Pour tous (x, y), (x′, y′) ∈R2 : (x, y) ⊕(x′, y′) = (x + x′, y + y′) et (x, y) ⊗(x′, y′) = (xx′ −yy′, xy′ + yx′). Par définition, l’ensemble R2 muni de ces deux lois est noté C et ses éléments sont appelés nombres complexes. • Remarquons alors que pour tous x, x′ ∈R : (x, 0) ⊕(x′, 0) = (x + x′, 0) et (x, 0) ⊗(x′, 0) = (xx′, 0). Ces égalités montrent que l’addition ⊕et le produit ⊗agissent sur les couples de la forme (x, 0) comme l’addition + et le produit × sur les réels. Nous identifierons pour cette raison, pour tout x ∈R, le couple (x, 0) et le réel x — cela veut dire que nous noterons désormais x le couple (x, 0). Cette identification nous permet de considérer R comme une partie de C, géométriquement comme l’axe des abscisses du plan R2. A présent, pour tout x, x′ ∈R : x⊕x′ = (x, 0)⊕(x′, 0) = (x+x′, 0) = x+x′ et x⊗x′ = (x, 0)⊗(x′, 0) = (xx′, 0) = x×x′. Ces égalités montrent que les lois ⊕et ⊗généralisent à C les lois usuelles + et × que nous connaissions sur R. Nous noterons par conséquent sans risque d’ambiguïté + la loi ⊕et × la loi ⊗, et appellerons ces lois respectivement addition et multiplication sur C. Définition (Parties réelle et imaginaire) • Soit z = (x, y) ∈C. Le réel x est appelé la partie réelle de z et noté Re(z), et le réel y est appelé la partie imaginaire de z et noté Im(z). • Pour tous z, z′ ∈C : z = z′ ⇐ ⇒ Re(z) = Re(z′) et Im(z) = Im(z′). En particulier : z = 0 ⇐ ⇒ Re(z) = Im(z) = 0, et : z ∈R ⇐ ⇒ Im(z) = 0. Enfin, un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé un imaginaire pur. b z Re(z) Im(z) Nous avons choisi plus haut de noter simplement 1 le couple (1, 0). Nous décidons à présent de noter i l’élément (0, 1). Pourquoi ce choix ? Parce qu’alors : i2 = (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0) = −1. Progressivement, nous sommes bien en train de construire avec rigueur les nombres complexes « que nous connaissons ». Théorème (Forme algébrique) Pour tout z ∈C, il existe un et un seul couple (x, y) de réels pour lequel z = x + iy. | {z } Forme algébrique de z En fait x = Re(z) et y = Im(z). Démonstration Existence et unicité démontrées directement par équivalence. Pour tout (x, y) ∈R2 : z = x + iy ⇐ ⇒ z = (x, 0) +  (0, 1) × (y, 0)  ⇐ ⇒ z = (x, 0) + (0, y) ⇐ ⇒ z = (x, y) ⇐ ⇒ x = Re(z) et y = Im(z). ■    En pratique L’unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe est utilisée fréquemment pour faire des identifications. Elle permet, quand on a une égalité du type a + ib = a′ + ib′, d’écrire que a = a′ et que b = b′. En résumé : Une égalité de nombres complexes Deux égalités de nombres réels 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Définition (Affixe et image) Dans la mesure où C = R2 est identifié à un plan muni d’un repère orthonormal direct, les notions de point, vecteur, coordonnées et nombre complexe sont équivalentes : on peut écrire qu’un point est égal à un nombre complexe, qu’un vecteur est égal à ses coordonnées, etc. Chaque notion n’est qu’une manière d’interpréter intuitivement un même objet. Si M est un point (resp. si − → u est un vecteur) de coordonnées (x, y), le nombre complexe x + iy est appelé l’affixe de M (resp. de − → u ). Egalement, si z est un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy, le point de coordonnées (x, y) est appelé l’image de z. Théorème (Règles de calcul sur les affixes) • Soient − → u et − → v deux vecteurs d’affixes respectifs u et v et λ, µ ∈R. Le vecteur λ − → u + µ − → v a pour affixe λu + µv. • Soient A et B d’affixes respectifs a et b. Le vecteur − → AB a pour affixe (b −a). • Soient A1, A2, . . . , An des points d’affixes respectifs a1, a2, . . . , an et λ1, λ2, . . . , λn des réels. On pose Λ = n X k=1 λk et on suppose Λ ̸= 0. Le barycentre des points pondérés (A1, λ1), (A2, λ2), . . . , (An, λn) a pour affixe 1 Λ n X k=1 λkak. Exemple Pour tous z, z′ ∈C, le milieu du segment joignant z et z′ a pour affixe z + z′ 2 . Notre construction de C est à présent presque achevée. Il ne nous reste plus qu’à démontrer les propriétés usuelles des lois + et × sur C. Soient donc z = x + iy, z′ = x′ + iy′ et z′′ = x′′ + iy′′ trois nombres complexes. 1) Commutativité de + : z + z′ = (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) = (x′ + x, y′ + y) = (x′, y′) + (x, y) = z′ + z. Commutativité de + sur R 2) Commutativité de × : zz′ = (x, y)×(x′, y′) = (xx′−yy′, xy′+yx′) = (x′x−y′y, x′y+y′x) = (x′, y′)×(x, y) = z′z. Commutativité de + et × sur R 3) Associativité de + : L’ordre des parenthèses n’a pas d’importance quand on effectue des additions. Associativité de + sur R (z + z′) + z′′ = h (x, y) + (x′, y′) i + (x′′, y′′) = (x + x′, y + y′) + (x′′, y′′) =  (x + x′) + x′′ , (y + y′) + y′′ =  x + (x′ + x′′) , y + (y′ + y′′)  = (x, y) + (x′ + x′′, y′ + y′′) = (x, y) + h (x′, y′) + (x′′, y′′) i = z + (z′ + z′′). 4) Associativité de × : L’ordre des parenthèses n’a pas d’importance quand on effectue des multiplications. Distributivité de × sur + sur R et associativité de × sur R (zz′)z′′ = h (x, y) × (x′, y′) i × (x′′, y′′) = (xx′ −yy′, xy′ + yx′) × (x′′, y′′) =  (xx′ −yy′)x′′ −(xy′ + yx′)y′′ , (xx′ −yy′)y′′ + (xy′ + yx′)x′′ =  x(x′x′′ −y′y′′) −y(x′y′′ + y′x′′) , x(x′y′′ + y′x′′) + y(x′x′′ −y′y′′)  = (x, y) × (x′x′′ −y′y′′, x′y′′ + y′x′′) = (x, y) × h (x′, y′) × (x′′, y′′) i = z(z′z′′). 5) Distributivité de × sur + : z(z′ + z′′) = (x, y) × h (x′, y′) + (x′′, y′′) i = (x, y) × (x′ + x′′, y′ + y′′) =  x(x′ + x′′) −y(y′ + y′′) , x(y′ + y′′) + y(x′ + x′′)  =  (xx′ −yy′) + (xx′′ −yy′′) , (xy′ + yx′) + (xy′′ + yx′′)  = (xx′ −yy′, xy′ + yx′) + (xx′′ −yy′′, xy′′ + yx′′) = h (x, y) × (x′, y′) i + h (x, y) × (x′′, uploads/Philosophie/ cours-nombres-complexes-4.pdf

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