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Ftç a: _ -- t-r,r.r,]l 1l école notionole supérieure du pétrole et des moteurs Ph. TASSI et S. LEGAIT théorie des probabilités en vue des applications statistiques ffi? .$ffiffi ,dffifl ,:*- ,, i -l ,tri'[e;Ë t" .',: o) 6 {) o = o L o o. c o f o .c (D E o .o o a a f o- / .. tj.i.' rll:-9.:l:11 .\ ,#fr.&TfrIr .ri'*1H1i*'r *;::;""ii**tq:;:.:'ft.4*[ii,'rffi,F*urisjit{'1rrr:#]r':* TUTIONS TECHNIP -l I i 3 I I I I I I I I I I I , ll'i: ,t**jt-"\{ u ':, :'r- Q''|r a 1l il it fi il 5l-9.21-:3il 352 i- I l I TAS , .r - I r' .- "l f {,1' ù '') '-' i 't 519. ?1-:3il TAS AR? INSTITUT FRANÇAIS DU PETROLE École Nationale Supérieure du Pétrole et des Moteurs Centre d'études supérieures d'économie et gestion Théorie des probabilités en vue des applications statistiques Philippe Tassi Directeur scientifique de Médiamétrie Professeur à I'ENSPM et à I'ENSAE Sylvia Legait Attaché de t'INSEE Éotnorus rEcHNtp 27, rue Giroux 75737 Paris Cedex 15 @ lgg0. Editions Technip, Paris et Institut Frmtçais du Pétrole, Rueil-Malmaison tsBN 2-7108-0582-O rssN 0758-147X Toute reproduction, même paftielle de cet ouvrage, par quclque procédé que ce soil est rigouretnement interdite par les lois en vigueur AVANT-PROPOS déjà longue histoire des méthodes scientifiques montre que la principale victoire du chercheur, du praticien, de |ingénieur, esi t;upprànt,.s"ge du doute. Le scientifique éclairé remprace de prus en prùs fréquemmenio"" uttirrations comme "le résultat est ...> par des interrogations : *queile est ra probabirité pour que re résultat soit ..". Le calcul et la théàrie des probabilités jouent, et joueront un rôle fondamental dans ra démarche scientifique, d'une part en raison de ra nature aréa_ toire de la plupart des problèmes réels, d""utr" part grâce à la nécessité de recourir aux méthodes statistiques de traitement de donnée-s sans cesse plus nombreuses et complexes à analyser. Le déterminisme étant souvent une réduction hâtive de la réalité, il n'est plus, maintenant, d'ingénieur chimiste. physicien, fiabiriste, astronome, sans parrer bien sûr des spéeialistes de ra gestion, d" i'é"onornie et prus généràtement des sciences sociales et humaines, qui n'aient à manipurer res "onË"pt, ài r"" modères de ra probabilité et de la statistique. Mentionnons, à titre 0,""".pie, ra physique des particules : les électrons ne décrivent pas des trajectoires autour du noyau comme le font les planètes autour du soleil. Les particules obéissent en effet aux lois de la mécanique quantique, et la notion de trajectoire doit être abandonnée. De manière générale, la seure chose qu'ir est possiÉre de connaître est la probabilité de pré_ sence d'une particule en un point donné et à un instant donné. , .L',ouvrage propose une introduction aux principales notions des probabilités dont le praticien sera amené à se servir. ll est rédigé pour des lecteurs déjà familia- risés avec un certain bagage mathématique en anaryse et en argèbre. En effet, l'usage de plus en plus repându des méthodes proba'bilirt""-I qui ira encore en grandissant de par re déveroppement de rogiciers adaptés - montre qu'une mau- vaise connaissance des propriétés fondamentares des techniques est à r,origine d'interprétations parfois aberrantes des résultats. ll nous apparaît donc important d'insister sur les bases, afin de faciliter la compréhension des méthodes. La rédac- tion fait en outre appel à de nombreux exemples d'applications et exercices résolus ou à résoudre. . Le chapitre 1 présente les concepts probabilistes usuels selon I'axiomatique. maintenant classique, de Kormogorov. il'contient égarement res résurtats sur re conditionnement er [indépendanCe. et le célèbre théJrème dû à Thomas Bayes, dit de nprobabilité des causes> chapitre 2 pronge re carcur des probabirités dans ra théorie. prus générare, de la mesure et présenre res principaux étéments de rintàgr"tion générarisée au sens de Lebesgue, dont ra pubrication, au début du 2o'"siècre, a permis une PH. TASSi - S. LEGAIT AVANT PROPOS approche unifiée des probabilités. Nous avons adopté cette démarche car elle apparaît pédagogiquement intéressante, de par l'unification du langage qu'elle permet et la portée des propriétés qu'elle engendre. Dans le troisième chapitre sont regroupés les principaux résultats sur les varia- bles aléatoires réelles ou multidimerrsionnelles. La piupart d'entre eux sont des cas particuliers de ceux obtenus au chapitre 2. Le chapitre 4 est important pour le praticien: il fournit les définitions et pro- priétés de dix-huit lois de probabilité parmi les plus rencontrées dans les applica- tions. ll donne également les principes des papiersfonctionnels adaptés à la déter- mination d'une loi de probabilité au vu des données, ainsi que des éléments sur la génération d'échantillons aléatoires souvent utilisés en simulation. Le chapitre 5 est consacré à la géométrie des variables aléatoires. Après avoir donné une représentation géométrique de certains des outils de la statistique des- criptive, il contient les bases sur lesquelles sont fondés le modèle linéaire et la régression. Au chapitre 6 est présenté l'un des outils les plus simples à utiliser lorsque l'on veut connaître la loi d'une somme de variables ou étudier les comportements asymptotiques : il s'agit de la fonction caractéristique. Le chapitre 7 porte sur les convergences de variables aléatoires. De nombreu- ses applications statistiques sont fondées sur des propriétés (aux limites,, autori- sant ainsi des approximations justifiées d'un comportement inconnr:. Ainsi, l'un des indices les plus utilisés en statistique est le nornbre des observations: lorsqu'il est impossible d'obtenir des résultats exacts, la taille, parfois éievée, de n autorise l'usage de résultats approximés. Un certain nombre de compléments et d"approfondissements font l'objet du chapitre 8. ll est souvent important, en pratique, de pouvoir mesurer la odistance, existant entre deux lois de probabilités. ou entre des observations et un modèle théorique donné. Ouelques indicateurs de proximité sont présentés dans ce chapitre. L'observation de données aléatoires fait parfois apparaître un ordre naturel : ainsi un phénomène qui va en s'amplifiant donnera naissance à des données ran- gées en ordre croissant. En outre, depuis quelques années, on voit se développer' des méthodes statistiques utilisant des observations ordonnées, méthôdes dont les propriétés de stabilité sont du plus haut intérêt. Le clrapitre 9 est donc consacré aux résultats probabilistes particuliers à ce type de modèle ordonné. Enfin, les chapitres 10 et 11 portent sur les processus, c'est-à-ciire une géné- ralisation des variables aléatoires. Leur domaine d'utilisation le plus fréquent est celui des séries temporelles, dont l'observation varie non seulement en fonction de l'individu observé mais aussi selon l'instant d'observation. Le chapitre 1O fournit des résultats probabilistes sur les proeessus, et le chapitre 1 1 présente des exem- ples de processus, en particulier les processus autorégressifs et moyenne mobile très répandus en automatique et en prévision. Les auteurs PH. TASSI S. LEGAIT TABLE EES MATIERES AVANT PROPOS TABLE DES MATIERES Chapitre 1 : LES eONCEPTS pROBAB|L|STES 1 Espace probabitisable 1 .1 Ëxpérience aléatoire 1.2 Evénement 2 Propriétés des tribus 3 Ouelques tribus particulières 3.1 Exemples "... 3.2 Tribu engendrée 3.3 Tribu borélienne 4 Probabilité sur un espace probabilisable 4.1 Définirion d'une probabiliré 4.2 Propriétés d'une probabilité Fonction de répartition Probabilité conditionnelle, indépendance d,événernents 6.1 Probabilité conditionnelle . 6.2 lndépendance . . 6.3 Théorème de Bayes Exercices Chapitre 2 : PROBAB|L|TE, MESURE, tNTEGRAT|ON 1 La théorie de la mesure : histoire et apport aux probabilités 2 Notion de mesure 2.1 Déf initions 2.2 Propriétér . ::::' ' 2.3 Meiure.iriin, sii ".:: :.:. :::::::.' 3 Mesurabilité 3 5 11 12 12 12 13 16 16 16 5 6 17 18 18 21 22 23 23 3.1 Application mesurable 3.2 Mesure-image 3.3 Tribu-produit . 24 27 29 33 33 35 35 37 39 40 4A 43 44 46 46 48 4lntégration ... 4. 1 lntégration des fonctions mesurables étagées positives 4.2 lntégration des fonctions mesurablei positives PH TASSI . S. TEGAIT TABLE DFS MATIERES 4.3 Fonctions intégrables 4.4 Propriétés de l'intégrale 4.5 Généralisation 4.6 Exemples ... 5 Négligeabilité . 5.'l Définitions 5.2 Propriétés 6 Mesure définie Par une densité 7 lntégration par rapport à une mesure-image 8 lntégration par rapport à une mesure-produit 8.1 Mesure-produit 8.2 lntégration Exercices Chapitre 3 : LES VARIABLES ALEATOIRES 1 Caractéristiques des variables aléatoires réelles (unidimensionnelles) 1.1 Fonction de répartition . . ' . 1.2 Densité de probabilité . . ' . 1.3 Moments ... 1.4 Fractiles 1.5 Changement de variables 2 Vecteurs aléatoires 2.1 Fonction de répartition 2.2 Densité de probabilité . . ' . 2.3 Moments ... 2.4 Changement de variables 2.5 Lois marginales 2.6 lndépendance 2.7 Lois conditionnelles Exercices Chapitre 4 : LES LOIS DE PROBABILITE USUELLES 1 Les lois discrètes . . " . 1.1 La loi de Dirac 1.2 Loi indicatrice (ou loi de Bernoulli) .. .' 1.3 Loi de Poisson 1 .4 Loi binomiale 1.5 Loi multinomiale . . . 1,6 Loi hypergéométrique 1.7 Loi binomiale négative 2 Les lois continues elassiques 2.1 Loi uniforme 2.2 Loi gamma 50 51 52 53 54 54 55 59 61 64 64 65 67 71 72 72 73 75 77 78 80 80 80 82 85 86 87 91 103 107 107 107 108 109 110 110 113 115 116 116 117 119 2.3 Loi de Weibull uploads/Philosophie/ theorie-des-probabilites.pdf