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Université Abderrahmane Mira de Béjaia Faculté de Technologie Département de Te

Université Abderrahmane Mira de Béjaia Faculté de Technologie Département de Technologie Analyse et Algèbre Cours, 1` ere année LMD Arezki KHELOUFI1. 1version 1.0 khelou _arezki@hotmail.com pour toute remarque ii Table des matières Introduction vii I Analyse et Algèbre I 1 1 Eléments de la logique mathématique 3 1.1 Notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Opérations sur les propositions, connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Les quanti cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Méthodes de raisonnement mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Raisonnement par l'asurde : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Démonstration par la contraposée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Démonstration par un contre exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Démonstration par récurrence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Ensembles, relations et applications 7 2.1 Notions sur la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.3 L'ensemble des parties d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.4 Partition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.5 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Relations binaires dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.1 Dé nition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Relation d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.3 Relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Applications, fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1 Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2 Restriction et prolongement d'une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.4 Injection, surjection et bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.5 Applications réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.6 Image directe, image réciproque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Structures algébriques fondamentales 15 3.1 Groupes, Anneaux et Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.3 Sous groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.4 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.5 Sous anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ cours-anal-alg.pdf