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Probabilités et inférence statistique (STAT-S202) Partie I: Probabilités Davy P

Probabilités et inférence statistique (STAT-S202) Partie I: Probabilités Davy Paindaveine 2011-2012 (2ème édition) Université libre de Bruxelles Solvay Brussels School of Economics and Management ch.0-p.1i Introduction Deux parties 1 Probabilités : Davy Paindaveine, 1er quadrimestre Théorie : 24h (=12×2h) TP : 18h (=9×2h) http://www.ulb.ac.be//soco/statrope/cours/stat-s-202 http://homepages.ulb.ac.be/~dpaindav/teaching/stats202.html 2 Inférence statistique : Catherine Dehon, 2nd quadrimestre Théorie : 24h (=12×2h) TP : 18h (=9×2h) 1ère session 1 Probabilités : examen en janvier 2 Inférence statistique : examen en juin ⇝Une note unique (la moyenne des notes de janvier et de juin). ch.0-p.2i Introduction 2nde session Un double examen est organisé lors d’une même demi-journée (1h30 à 2h pour chaque partie). Règles de report(s) et de notation : De la première à la seconde session, un étudiant bénéﬁcie automatiquement du report de la note de la première partie du cours (examen de janvier) ou de la seconde partie du cours (examen de juin), si celle-ci est au moins égale à 10/20 [aucune démarche administrative n’est nécessaire]. Les notes inférieures à 10/20 sont automatiquement annulées. L ’étudiant qui a obtenu un report de note et qui décide de représenter l’examen correspondant lors d’une session ultérieure renonce implicitement à son ancienne note et seule la nouvelle note obtenue sera prise en considération, même si celle-ci est inférieure à celle obtenue anté- rieurement. La note pour la seconde session est la moyenne entre la note obtenue pour la première partie (note de janvier ou note obtenue en seconde session) et la note obtenue pour le deuxième partie (note de juin ou note obtenue en seconde session). ch.0-p.3i Introduction Report d’année L ’étudiant bénéﬁcie du report d’année si la note ﬁnale du cours « Probabilités et inférence sta- tistique » est au moins égale à 12/20. Un étudiant qui ne se voit pas attribuer un report d’année ne bénéﬁciera pas de "report partiel" à l’année suivante. Il devra donc, quelles que soient les notes obtenues l’année précédente, repasser les deux parties du cours. ch.0-p.4i Introduction L ’inférence statistique, quoi et pour quoi ? ch.0-p.1i Introduction 30 avril 2007 : le bureau de campagne de Nicolas Sarkozy juge que si la proportion p des Français en faveur de Nicolas Sarkozy est ≤52%, il faut opter pour une ﬁn de campagne assez agressive, si p > 52%, il faut au contraire opter pour une ﬁn de campagne prudente. Comment décider de ce qu’il faut faire ? La décision dépend de la valeur de p, qui est malheureusement inconnue. Puisqu’il est bien sûr exclu d’interroger tous les français pour évaluer p, la seule possibilité consiste à réaliser un sondage : interroger 100 futurs votants sur leurs intentions de vote, disons. ch.0-p.2i Introduction La statistique descriptive s’arrête à la description des résultats de ce sondage. Ceci ne dit cependant rien de tangible sur p : quelle que soit la valeur de p ∈(0, 1), ce résultat de 62% peut en effet se réaliser, en raison des "variations aléatoires" auxquelles le résultat du sondage est soumis (mais la valeur p = 1%, par exemple, rend ce résultat de 62% très peu probable et est donc à écarter) ch.0-p.3i Introduction Les probabilités = un processus déductif : Une connaissance parfaite de la population permet de "prédire" les caractéristiques de l’échantillon qui sera obtenu aléatoirement. >< La statistique inférentielle = un processus inductif : L ’échantillon observé permet d’obtenir de l’information sur la population qui n’est que très partiellement connue. Population Echantillon Inférence statistique Probabilités ch.0-p.4i Introduction Ce sont ainsi les probabilités qui engendrent la statistique inférentielle, laquelle va plus loin que la statistique descriptive : elle permet de tirer des conclusions (et donc de prendre des décisions). Comme le cours le montrera, elle établira ici que si on tolère une probabilité de 5% qu’on opte à tort pour une ﬁn de cam- pagne prudente, il convient d’opter en effet pour la prudence (alors qu’un résul- tat de sondage de 58% ne mènerait pas à cette conclusion), qu’une "fourchette" pour p, associée à un "taux d’erreur de 5%", est donnée par [52.5%, 71.5%]. Clairement, toute "preuve statistique" comportera un risque d’erreur. Comment déﬁnir cette erreur? Comment la contrôler? (p.ex., comment choisir une taille de sondage assurant une erreur inférieure à un seuil ﬁxé par le cabinet Sarkozy ?) Comment interpréter les résultats des procédures d’inférence statistique? ch.0-p.5i Introduction Les domaines d’applications des probabilités et de l’inférence statistique sont in- nombrables : L ’économie : quel est le lien entre les dépenses et les revenus des ménages? Comment modéliser/prévoir le PNB en fonction d’autres grandeurs macroéco- nomiques? La ﬁnance : comment apprécier les risques associés aux divers actifs ﬁnan- ciers ? Comment construire un portefeuille optimisant les proﬁts en minimisant le risque ? Les assurances : comment la compagnie doit-elle ﬁxer les primes pour pouvoir faire face (avec une probabilité sufﬁsante) à l’ensemble des sinistres qui se produiront cette année? La politique de l’éducation : quel est l’impact d’une augmentation de la taille des classes sur l’efﬁcacité de l’enseignement? La santé publique : quelle est l’importance du tabagisme passif ? Comment valider un médicament avant de l’introduire sur le marché ? . . . ch.0-p.6i Introduction 1 Mesures de probabilité 2 Variables aléatoires 3 Vecteurs aléatoires 4 Théorèmes limites et lemme de Fisher ch.0-p.7i Plan du chapitre 1 1 Mesures de probabilité Expérience aléatoire, univers, événements Mesures de probabilité Propriétés des mesures de probabilité Analyse combinatoire Mesures de probabilité conditionnelle ch.1-p.8i Plan du chapitre 1 1 Mesures de probabilité Expérience aléatoire, univers, événements Mesures de probabilité Propriétés des mesures de probabilité Analyse combinatoire Mesures de probabilité conditionnelle ch.1-p.1i Expérience aléatoire, univers, événements Expérience aléatoire E : Une expérience dont on ne peut prédire le résultat avec certitude Exemple : E = interroger un quiddam sur ses intentions de vote L ’univers Ω= {ω} : L ’ensemble de tous les résultats ω possibles de E Exemple : Ω= {Sarkozy, Royal} Un événement A : Un sous-ensemble de Ω Exemple : A = {Sarkozy} Remarques : - Si le résultat ω de E appartient à A, on dit que l’événement A se produit. - Dans la suite, l’ensemble de toutes les parties de Ω(= l’ensemble de tous les événements) sera noté P(Ω). ch.1-p.1i Expérience aléatoire, univers, événements Expérience aléatoire E : Une expérience dont on ne peut prédire le résultat avec certitude Exemple : E = lancer d’un dé L ’univers Ω= {ω} : L ’ensemble de tous les résultats ω possibles de E Exemple : Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Un événement A : Un sous-ensemble de Ω Exemples : A1 = {1}, A2 = {2, 4, 6}, A3 = {5, 6}, . . . Remarques : - Si A est un singleton, on dit que A est simple (e.g., A1). Sinon, on dit que A est composé (e.g., A2, A3). - Les résultats composés d’intérêt s’expriment plus aisément sans mathématique (e.g., A2 = "obtenir un résultat pair"). ch.1-p.2i Expérience aléatoire, univers, événements Expérience aléatoire E : Une expérience dont on ne peut prédire le résultat avec certitude Exemple : E = lancer de deux dés (distinguables) L ’univers Ω= {ω} : L ’ensemble de tous les résultats ω possibles de E Exemple : Ω= {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6)} Un événement A : Un sous-ensemble de Ω Exemples : A1 = {(1, 4)}, A2 = {(6, 6)}, A3 = {(5, 6), (6, 5)}, . . . Remarque : - Les opérations ensemblistes ∪, ∩, c, . . . , associées aux opérations logiques cor- respondantes ("ou", "et", "non", . . . ), engendrent de nouveaux événements. Exemple : A2 ∪A3 = {(6, 6), (5, 6), (6, 5)}, i.e., "avoir une somme égale à 12" ou "avoir une somme égale à 11" = "obtenir une somme plus grande ou égale à 11". ch.1-p.3i Expérience aléatoire, univers, événements A1 A2 A1∪A2 Ω A1 A2 A1∩A2 Ω A1 A2 A1∆A2 Ω A A Ω c "ou" inclusif "et" "ou" exclusif "non" ch.1-p.4i Expérience aléatoire, univers, événements Expérience aléatoire E : Une expérience dont on ne peut prédire le résultat avec certitude Exemple : E = créer une start-up dans le but de percer dans les 5 ans L ’univers Ω= {ω} : L ’ensemble de tous les résultats ω possibles de E Exemple : Ω= {percer, ne pas percer} Un événement A : Un sous-ensemble de Ω Exemples : A1 = {percer}, A2 = ∅, A3 = Ω, . . . Remarques : - ∅est dit événement impossible. - Ωest dit événement certain. ch.1-p.5i Expérience aléatoire, univers, événements Expérience aléatoire E : Une expérience dont on ne peut prédire le résultat avec certitude Exemple : E = lancer une pièce de monnaie en l’air jusqu’à obtenir p (pile) L ’univers Ω= {ω} : L ’ensemble de tous les résultats ω possibles de E Exemple : Ω= {p, (f, p), (f, f, p), (f, f, f, p), . . .} Un événement A : Un sous-ensemble de Ω Exemples : A1 = {p, (f, p), uploads/Philosophie/ stats202-partie1.pdf