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1 Cours de Mécanique Analytique, en Licence 3 de physique. Frédéric Faure 1Univ

1 Cours de Mécanique Analytique, en Licence 3 de physique. Frédéric Faure 1Université Joseph Fourier. 25 novembre 2010 1. Institut Fourier, UMR 5582, 100 rue des Maths, BP74 38402 St Martin d'Hères. frederic.faure@ujf- grenoble.fr http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure Table des matières 1 De la formulation Newtonienne à la formulation Hamiltonienne de la mécanique 5 1.1 Rappels sur la mécanique de Newton du point . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Formulation Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Equations du mouvement de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Exemple d'une particule chargée dans un champ électromagnétique 14 1.3 Changement de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Loi générale. Vecteur tangent et cotangent. . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2.1 Norme des vecteurs. Tenseur métrique. . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Etude de la dynamique Hamiltonienne indépendante de t, à 1 degré de liberté 23 1.4.1 L'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Construction du diagramme de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2.1 Dynamique près d'un minimum de U (x) . . . . . . . . . . 26 1.4.2.2 Dynamique près d'un maximum de U (x) . . . . . . . . . . 27 1.4.3 Période des trajectoires périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Propriétés générales d'un ot Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Déterminisme et chaos. Introduction 35 2.1 Dynamique dans un billard parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.1 Description en terme de forces et de Hamiltonien . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Section de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Origine du chaos. Intersections des courbes stables et instables. . . . . . . . 40 2.2.1 courbes stables et instables au point xe hyperbolique . . . . . . . . 40 2.2.2 Intersection homoclines transverse des courbes stables et instables . 41 2.2.3 Etirement et repliement de l'espace de phase par la dynamique . . . 42 2.2.4 Conclusion : mélange et sensibilité aux conditions initiales . . . . . 44 2.3 Un modèle simple de chaos déterministe : une application hyperbolique sur le tore T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1 Propriétés chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2 Stabilité structurelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 TABLE DES MATIÈRES 3 2.3.3 Orbites périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Principe variationel et formulation Lagrangienne de la mécanique 48 3.1 Du principe variationel aux équations de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1 Exemple simple : le pendule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.2 Exemple avec notion de contrainte holonome et coordonnées généra- lisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.3 Exemple : particule chargée dans un champ électromagnétique . . . 56 3.2 Principe variationel et mécanique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1 L'espace temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.2 La métrique de l'espace temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.3 Exemples de temps propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.4 Principe variationel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4 Formalisme Hamiltonien de la mécanique 63 4.1 Transport de fonctions sur l'espace de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.1 Exemple simple de la translation en x sur l'espace R : . . . . . . . 68 4.1.2 Exemples de champs de vecteurs et leur ot (*) . . . . . . . . . . . 69 4.1.3 Propriété de groupe du ot (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.4 Evolution de fonctions et de points et de distributions (*) : . . . . . 70 4.1.5 Non commutativité du ot : (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 Les crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3 Transformation canoniques et coordonnées canoniques . . . . . . . . . . . . 75 4.4 Variables angle-action à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.1 Exemple de l'oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5 Théorie des perturbations et théorie adiabatique 83 5.1 Méthode de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.1.1 Exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1.2 Exemple où la méthode de la moyenne ne marche pas . . . . . . . . 86 5.2 Méthode de la moyenne pour un système Hamiltonien . . . . . . . . . . . . 87 5.2.1 Problème de perturbation Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2.2 Problème adiabatique : Hamiltonien variant lentement avec le temps 88 5.2.3 Transformations canoniques dépendant du temps . . . . . . . . . . 90 6 Symétries et réductions uploads/Philosophie/ cours-de-mecanique-analytique-pdf.pdf