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1 COURS DE TOPOGRAPHIE 2 (BTS 2 OPTIONS BATIMENT ET TRAVAUX PUBLICS) PLAN DU CO

1 COURS DE TOPOGRAPHIE 2 (BTS 2 OPTIONS BATIMENT ET TRAVAUX PUBLICS) PLAN DU COURS 1 THEORIE DES ERREURS EN TOPOGRAPHIE 2 MESURE DE DISTANCE, MESURE ANGULAIRE ET RAYONNEMENT 3 LE NIVELLEMENT INDIRECT 4 CHEMINEMENT POLYGONAL REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES : Serge Milles et JEAN Lagofun. ‘Topographie et topométrie modernes - Techniques de mesure et de représentation. Tome 1 et 2. Edition Eyrolles. 1999. Brabant Michel. Maitriser la topographie, des observations au plan, AFT, 542 pages, Groupes Eyrolles, Paris, 2003. Pierre Goix. Topographie – la topographie par la pratique. La collection Focus. CRDP de l’académie de Grenoble, 2005. 339 pages. ENSEIGNANT : M.MANFOUO Romuald-Gabin 1-THEORIE DES ERREURS EN TOPOGRAPHIE 1-1-MESURES TOPOMETRIQUES : TERMINOLOGIE 1-1-1-Valeur vraie et valeur conventionnellement vraie d’une mesure La topographie exige l’observation de nombreuses mesures. Considérons la distance entre deux points parfaitement et très précisément définis : cette distance est unique et n’a qu’une valeur nommée valeur vraie. C’est une valeur utopique qu’il est impossible de connaître. Si nous mesurons plusieurs fois cette distance, nous obtenons des résultats de mesurage non tous identiques ; ces valeurs seront des valeurs approchées de la valeur vraie et celle que l’on retiendra, dans ce cas la moyenne arithmétique, sera nommée la valeur conventionnellement vraie de la distance. 1-1-2-Paramètres influençant les opérations de mesurage Les mesures donnent des valeurs non toutes identiques parce que : - Les observations sont effectuées par des personnes et non des robots : les gestes et manipulations ne sont donc pas à chaque fois absolument identiques ; - Les conditions des observations changent : les variations de températures modifient la longueur d’une chaîne en acier, les différences de pression atmosphérique perturbent les ondes des distancemètres, etc. ; - Les instruments, aussi précis soient-ils, de conception et de fabrication humaine, sont forcément entachés d’erreurs : non perpendicularité des axes d’un théodolite, défauts dans les graduations du limbe, défaut d’horizontalité de l’axe optique d’un niveau, etc. 1-1-3-L’opération de mesure Le mesurage est l’ensemble des opérations expérimentales ayant pour but de déterminer la valeur d’une grandeur. En topométrie, on utilise souvent le terme de mesure. La méthode de mesurage est le mode de comparaison utilisé. On distingue : - Le mesurage direct, comparaison de la grandeur avec un étalon : par exemple mesurer une longueur avec un décamètre ou un angle avec un théodolite ; - Le mesurage indirect, qui fournit le résultat de la grandeur par l’intermédiaire d’une formule faisant intervenir des mesures directes : par exemple la mesure de la surface d’un rectangle faisant intervenir la mesure de ses côtés ou encore la mesure d’une altitude en nivellement indirect faisant intervenir au moins une mesure de distance et une mesure angulaire. 2 1-2-LES ERREURS EN TOPOMETRIE Les observations effectuées dans les opérations topographiques sont entachées d’inexactitudes plus ou moins importantes provenant de l’imperfection des sens, des instruments utilisés, des conditions atmosphériques, etc. En améliorant les méthodes et les instruments, en répétant plusieurs fois les observations, les erreurs seront réduites, mais la valeur mathématiquement exacte ne sera jamais atteinte. Les inexactitudes sont de deux natures différentes : les fautes et les erreurs. 1-2-1-Les fautes ou erreurs parasites Ce sont des inexactitudes grossières qui proviennent de la maladresse des opérateurs et de leurs aides ainsi que de leurs négligences ; elles sont en général facilement décelables : faute de lecture sur un ruban, faute de lecture d’angle, faute de lecture sur la mire, etc. Il s’agit d’une faute lorsque la tolérance donnée pour les observations ou l’approximation donnée pour un instrument est dépassée. 1-2-2-Les erreurs Ces inexactitudes sont absolument inévitables. Elles proviennent de l’imperfection des instruments utilisés, de l’imperfection des sens de l’individu. Leur valeur est faible par rapport aux fautes et de toute façon obligatoirement inférieure à la tolérance. Mais quoique petite, la somme de ces erreurs donne aux résultats une inexactitude dont il est recommandé de se préoccuper. On distingue les erreurs systématiques et les erreurs accidentelles. 1-2-2-1-erreurs systématiques Ces erreurs se reproduisent toujours identiquement à elles-mêmes. Elles sont dues à une cause permanente connue ou inconnue. Il est toujours possible de la corriger soit par le calcul, soit par un mode opératoire (par exemple le double retournement). Les mesures topométriques consistent essentiellement en mesures de longueurs et en mesures d’angles. Nous allons rappeler ci-après quelques erreurs systématiques caractéristiques de ces types de mesures. Pour les mesures de longueurs : ● par chaînage (mesure direct de distance au ruban en acier), les erreurs systématiques sont essentiellement des erreurs d’étalonnage et, pour les éliminer, il faut apporter aux valeurs observées des corrections d’étalonnage ; ces corrections sont multiples : tensions, température, étalonnage proprement dit. C’est aussi l’erreur de chaînette, d’alignement et le défaut d’horizontalité ; ● par des IMEL (instruments de mesures électroniques des distances) : par exemple les distancemètres. Les erreurs systématiques sont l’erreur d’étalonnage et celles dues aux conditions atmosphériques, essentiellement la température et la pression. Pour les mesures d’angles : ● erreurs de collimation horizontale et verticale ; ● erreur de tourillonnement ; ● erreur d’excentricité de l’axe de rotation de l’alidade ; ● inégalité des graduations du limbe ; ● erreurs dues à la réfraction, etc. 1-2-2-2-Les erreurs accidentelles Sont appelées accidentelles les erreurs qui ne présentent pas un caractère systématique, c’est-à-dire qui ne peuvent être ni calculées d’avance ni éliminées par la méthode opératoire ; elles sont dues à des causes fortuites ou non analysables ; on ne peut que constater leur existence et les subir. Elles changent ou non de signe, mais 3 changent continuellement de valeur. Détaillons ces erreurs pour les deux principaux types de mesures effectuées en topométrie, à savoir : Les mesures de longueurs : ● par chaînage : ce sont essentiellement les erreurs de matérialisation de l’extrémité des portées et les erreurs de lecture ; ● par les IMEL : on retrouve certaines des erreurs de mesures d’angles ci-après ; et les mesures d’angles : ce sont surtout les erreurs de centrage, de pointé, de lecture et de flamboiement de l’air. 1-2-2-3-Erreurs absolue et erreurs relative L’erreur absolue est la différence algébrique entre le résultat du mesurage et la valeur de comparaison. Suivant la valeur de comparaison utilisée, on distingue : ● l’erreur absolue véritable (e) qui est la différence algébrique entre le résultat du mesurage x et la valeur vraie µ : ● l’erreur apparente v, appelée écart probable en mesures directes et résidu en mesures indirectes, c’est la différence algébrique entre le résultat du mesurage x et la valeur conventionnellement vraie. L’erreur relative est le quotient de l’erreur absolue par la valeur vraie ; c’est une valeur algébrique usuellement exprimée en pourcentage. On ne peut pas tenir compte de l’erreur accidentelle sous forme d’une correction apportée au résultat du mesurage, mais, seulement à la fin d’une série de mesurages exécutés dans des conditions pratiquement identiques, on peut fixer les limites dans lesquelles se situe cette erreur avec une probabilité donnée. L’étude de ces limites constituent la théorie des erreurs accidentelles. 1-3-MODELE MATHEMATIQUE DE LA THEORIE DES ERREURS 1-3-1-hypothèse de travail On admet qu'une mesure topométrique X est une variable aléatoire dont la loi de distribution est une loi normale de paramètres µ (valeur vraie) et σ(incertitude moyenne quadratique ou écart type) et de densité de probabilité la fonction de GAUSS. Ainsi la probabilité pour que la mesure X prenne une valeur comprise entre deux valeurs a et b, est définie par : 1-3-2-Valeur conventionnellement vraie On démontre que la meilleure estimation de µest la moyenne arithmétique des mesures effectuées qui est donnée par la formule suivante : 4 On l’appelle « valeur la plus probable de la valeur vraie » ou « valeur conventionnellement vraie » mais ce n’est pas la valeur exacte – que l’on ne peut jamais connaître. 1-3-3-Écart type expérimental d’une mesure L’écart type expérimental est conventionnellement noté s ; par abus de notation, il est souvent noté σ. On démontre que pour un nombre limité de mesures, sa meilleure estimation est : 1-3-4-Ecart équiprobable et tolérance Écart équiprobable d’une mesure : C’est l’écart qui a une probabilité de 50 % de ne pas être dépassé en valeur absolue. On montre que : Écart maximal ou tolérance d’une mesure : On fixe toutefois arbitrairement sa probabilité en convenant que l’écart maximal tolérable est celui qui a une probabilité de 99 % de ne pas être dépassé. Cette valeur conventionnelle définit la limite au-delà de laquelle on n’a plus affaire à des erreurs mais a priori à des fautes. Le calcul montre que : 1-3-5-Incertitude sur la valeur conventionnellement vraie Soit σ l’incertitude sur une mesure isolée. On effectue cette mesure n fois dans les mêmes conditions de manière indépendante ; l’incertitude sur la moyenne xm de ces n mesures est égale à : Lorsque n devient très grand, cette incertitude diminue, ce qui signifie que la valeur conventionnellement vraie xm se rapproche de la valeur vraie µ, d’où l’intérêt de faire un grand nombre de mesures. 1-3-6-Théorie des erreurs accidentelles des mesures indirectes En topométrie, il est fréquent d’effectuer plusieurs mesures directes pour connaître notamment uploads/Philosophie/ cours-de-topographie-2-bts-2-bat-et-tpu.pdf