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11 Chapitre 2 Fonctions et Opérateurs Logiques I. Introduction……………………………………………

11 Chapitre 2 Fonctions et Opérateurs Logiques I. Introduction…………………………………………………………………………………………………….…… II. Variables et fonctions logiques ………………………………………….…………………. III. Opérateurs logiques de base……………………………………..…………………………… IV. Opérateurs composés …………………………………………………..……….…………………… V. Propriétés et théorèmes ……………………………………………………………...…………… VI. Représentation des fonctions logiques …………………….…………………… VII. Simplification des fonctions logiques……………………………...…………………. 12 12 13 15 16 18 22 Chapitre 2. Fonctions et opérateurs logiques A.U. 2017-18 Cours d’électronique numérique Pr. Aziz AMARI 12 I. Introduction Les systèmes logiques fonctionnent en mode binaire ; les variables d’entrée et de sortie ne prennent que deux valeurs : « 0 » ou « 1 ». Ces valeurs (états) « 0 » et « 1 » correspondent à des plages définies à l’avance. Concrètement, lors de la réalisation de circuits électroniques numériques, les 2 niveaux logiques sont constitués par 2 tensions différentes. La tension correspondant au niveau 0 est en général 0V. La tension correspondant au niveau 1 dépend de la technologie utilisée. Une norme couramment répandue est la norme TTL :  niveau logique 0  0 à 0,8 V  niveau logique 1  2,4 à 5 V Dans le domaine de la logique numérique, on utilise d’autres expressions qui sont synonymes de 0 et de 1 : La logique binaire basée sur l’algèbre de Boole permet de décrire dans un modèle mathématique les manipulations et traitement des informations binaires, et d’analyser les systèmes numériques. En général, la logique utilisée est la logique positive, dans laquelle le niveau dit actif est le niveau 1. Ça sera le cas dans la totalité de ce cours. Mais il existe également la logique négative, dans laquelle il s’agit du 0. II. Variables et fonctions logiques Cette partie abordera la représentation des fonctions sous forme algébrique, sous forme de table de vérité puis sous forme de schémas, et leur simplification au moyen des règles de l’algèbre de Boole et des tableaux de Karnaugh. II.1. Algèbre de Boole George Boole, philosophe et mathématicien irlandais du 19ème siècle est l’auteur d’une théorie sur l’art de construire un raisonnement logique au moyen de propositions qui ont une seule réponse OUI (VRAI) ou NON (FAUX). Il est le premier, avec de Morgan, à essayer de fonder la logique mathématique indépendamment de la philosophie. Pour cela, il crée une algèbre binaire n'acceptant que deux valeurs numériques, 0 ou 1. 1 pour une proposition toujours vraie, et 0 une proposition fausse. Il définit des lois (ET et OU) sur cette algèbre satisfaisant un certain nombre de propriétés (distributivité, commutativité,...). L’ensemble des opérations formelles appliquées à ces propositions forme une structure mathématique appelée Niveau logique 0 Niveau logique 1 Non Oui Faux Vrai Ouvert Fermé Arrêt Marche Bas Haut Éteint Allumé Chapitre 2. Fonctions et opérateurs logiques A.U. 2017-18 Cours d’électronique numérique Pr. Aziz AMARI 13 algèbre de Boole. A son époque, il s’agissait de développement purement théorique car on ignorait l’importance qu’allait prendre cette algèbre avec l’informatique. Les concepts de la logique booléenne ont été ensuite appliqués aux circuits électroniques par Claude Shannon (1916-2001). Cette algèbre est applicable à l’étude des systèmes possédant deux états s’excluant mutuellement. Dans la logique positive (la plus couramment utilisée), on associe OUI à 1 et NON à 0. Dans la logique négative, c’est l’inverse. L’algèbre booléenne binaire est à la base de la mise en œuvre de tous les systèmes numériques : ordinateurs, systèmes numériques portables, systèmes de communication numériques, etc. Elle permet entre autres de simplifier les fonctions logiques, et donc les circuits électroniques associés. II.2. Variables logiques Ce sont des variables ne pouvant prendre que deux valeurs distinctes : « 0 » ou « 1 ». Une variable binaire peut représenter n’importe quel dispositif binaire (contact, Interrupteur, lampe, électrovanne,...). L’association de ces variables dites booléennes ou logiques munie d’un certain nombre d’opérateurs donne naissance à des fonctions logiques. II.3. Fonctions logiques Une fonction logique est une fonction d’une ou plusieurs variables logiques, combinées entre elles par 3 fonctions élémentaires simples : NON, OU et ET. Il existe également des fonctions élémentaires composées de fonctions élémentaires simples : NON-ET, NON-OU, OU-EXCLUSIF, NON-OU-EXCLUSIF. Tout circuit logique peut être décrit par des fonctions logiques et/ou une table de vérité, et être réalisé à partir des opérateurs logiques élémentaires. III. Opérateurs logiques de base Les fonctions logiques peuvent être représentées schématiquement par des opérateurs logiques, encore appelés portes logiques. Chaque opérateur est représenté par un symbole et sa fonction est définie par une table de vérité. III.1. Opérateur identité ‘Oui’ Cette fonction fait intervenir une seule variable d'entrée (A). Le niveau logique de la sortie est égal au niveau logique de l'entrée : S = A. On peut exprimer cette propriété sous forme d’un tableau entrée/sortie, appelé table de vérité. Symbole européen Symbole américain Table de vérité III.2. Opérateur inverseur ‘Non’ ou ‘Not’ Elle fait également intervenir une seule variable d'entrée. Le niveau logique de sortie est l'inverse de celui présent à l'entrée. Chapitre 2. Fonctions et opérateurs logiques A.U. 2017-18 Cours d’électronique numérique Pr. Aziz AMARI 14 Symbole européen Symbole américain Table de vérité Soit A une variable quelconque. La fonction complément de la variable A est notée : ( ) ̅ (Prononcer "a barre", "non A", ou encore "complément de A"). Remarque 2.1 : Le cercle est en général utilisé pour indiquer une complémentation. On appelle souvent cet opérateur "inverseur". III.3. Fonction OU (ou somme logique) La fonction logique OU est également appelée "somme logique", ou "union logique". Sa notation algébrique utilise le symbole de la somme arithmétique. Pour 2 variables A et B, on a : ( ) Le terme anglais est "OR". III.4. Fonction ET (ou produit logique) La fonction ET est également appelée "produit logique", ou "intersection logique". Sa notation algébrique utilise le symbole de la multiplication arithmétique : ( ) Remarque 2.2 : Avec la fonction ET à plus de 2 entrées, le seul cas où la sortie serait à 1 serait le cas où toutes les entrées sont à 1. Remarque 2.3 : Les opérateurs {ET, OU, NON} permettent à eux trois de réaliser n’importe quelle fonction logique : on dit qu’ils forment un groupe complet. Le théorème de De Morgan permet de dire que les groupes {ET, NON} et {OU, NON} sont également des groupes complets. Chapitre 2. Fonctions et opérateurs logiques A.U. 2017-18 Cours d’électronique numérique Pr. Aziz AMARI 15 IV. Opérateurs composés Les fonctions élémentaires composées (ou combinées, ou induits) sont obtenues en combinant entre eux les fonctions élémentaires simples NON, ET et OU. L’ensemble des fonctions élémentaires simples et des fonctions élémentaires combinées NON-ET, NON-OU, OU-EXCLUSIF, NON-OU-EXCLUSIF définissent un ensemble complet d’opérateurs. IV.1. Opérateur Non-Ou (NOR) Les deux opérateurs OU et NON peuvent être combinés en un seul opérateur NON-OU : NON-OU est donc un opérateur complet. Symbole européen Symbole américain Table de vérité IV.2. Opérateur Non-Et (NAND) Les deux opérateurs ET et NON peuvent être combinés en un seul opérateur NON-ET : NON-ET est donc un opérateur complet. Symbole européen Symbole américain Table de vérité IV.3. Opérateur Ou exclusif (XOR) Pour 2 variables A et B, la fonction OU EXCLUSIF est définie par : ( ) ̅ ̅ On la note également : ( ) Symbole européen Symbole américain Table de vérité IV.4. Fonction NON-OU EXCLUSIF (XNOR) La fonction NON-OU EXCLUSIF est obtenue en complémentant la sortie d’un OU EXCLUSIF, c’est à dire en appliquant la sortie de la fonction OU EXCLUSIF à la fonction NON. Pour 2 variables A et B, elle est notée : ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ On la note également : ( ) Chapitre 2. Fonctions et opérateurs logiques A.U. 2017-18 Cours d’électronique numérique Pr. Aziz AMARI 16 Remarque 2.4 : Pour obtenir la table de vérité du NON-OU EXCLUSIF, il suffit d’inverser les valeurs de sortie dans la table de vérité du OU EXCLUSIF. Symbole européen Symbole américain Table de vérité V. Propriétés et théorèmes V.1. Propriétés monovariables Elément neutre V.1.1 À chaque opérateur correspond un élément neutre qui, lorsqu’il est opéré avec une variable quelconque A, donne un résultat identique à cette variable. Elément nul V.1.2 À chaque opérateur correspond un élément nul (appelé aussi élément absorbant) qui, lorsqu’il est opéré avec une variable quelconque A, donne un résultat identique à cet élément nul. Idempotence V.1.3 Le résultat d’une opération entre une variable A et elle-même est égal à cette variable. Complémentation V.1.4 ̅ ̅ Involution V.1.5 Le complément du complément d’une variable A est égal à cette variable. ̿ V.2. Propriétés multivariables Associativité V.2.1 Les opérations sont associatives : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chapitre 2. Fonctions et opérateurs logiques A.U. 2017-18 Cours d’électronique numérique Pr. Aziz AMARI 17 Commutativité V.2.2 Les opérations sont commutatives : Distributivité V.2.3 Chacune des opérations + et est distributive sur l’autre : ( ) ( ) ( ) Remarque 2.5 : On peut remarquer que cette propriété est particulière dans l’algèbre booléenne puisqu’ici les deux expressions sont vraies, alors que seule la première l’est dans l’algèbre ordinaire. Absorption V.2.4 ( ) Dualité V.2.5 Deux expressions sont dites duales si l’on obtient l’une en changeant dans l’autre, les ET uploads/Philosophie/ cours-electronum.pdf