VISA POUR LA PRÉPA 2021-2022 MATHS ET INFORMATIQUE Guillaume Connan MPSI - MP2I

VISA POUR LA PRÉPA 2021-2022 MATHS ET INFORMATIQUE Guillaume Connan MPSI - MP2I - PCSI - PTSI BCPST - ECG © Dunod, 2021 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-082980-4 Couverture : création Hokus Pokus, adaptation Studio Dunod III Table des matières 1. Savez-vous raisonner ? 1 1.1 Un brin de logique 1 1.2 Raisonnement par récurrence 5 1.3 Ensembles 7 1.4 Ordre dans  11 1.5 Exercices 15 Coups de pouce 19 Solutions et commentaires 20 2. Savez-vous calculer ? 25 2.1 De l’importance de savoir calculer 25 2.2 Calcul de sommes et de produits 25 2.3 Exercices 29 Coups de pouce 37 Solutions et commentaires 39 3. Les suites 67 3.1 Convergence d’une suite 67 3.2 Suites adjacentes 77 3.3 Suites récurrentes d’ordre 1 79 3.4 Exercices 84 Coups de pouce 91 Solutions et commentaires 92 IV 4. Savez-vous intégrer ? 103 4.1 Mise en place d’une définition 103 4.2 Quelles sont les fonctions intégrables ? 107 4.3 Propriétés de l’intégrale 109 4.4 Valeur moyenne 110 4.5 Primitive et intégrale 112 4.6 Exercices 114 Coups de pouce 119 Solutions et commentaires 120 5. Savez-vous prévoir ? 127 5.1 Rappels de théorie des ensembles 127 5.2 Une dose d’algèbre générale 128 5.3 Quelques résultats sur les cardinaux 130 5.4 Dénombrement 131 5.5 Triangle de Pascal – Binôme de Newton 133 5.6 Probabilités ? 134 5.7 Avant la formalisation 134 5.8 Espace probabilisable – Espace probabilisé 135 5.9 Probabilités conditionnelles 138 5.10 Variables aléatoires réelles finies 141 5.11 Quelques lois discrètes classiques 146 5.12 Exercices 149 Coups de pouce 157 Solutions et commentaires 159 Table des matières V Table des matières 6. Savez-vous programmer ? 175 6.1 Avant de commencer 175 6.2 Premiers pas 177 6.3 Un peu de vocabulaire 178 6.4 Les types de base 182 6.5 Instructions et expressions conditionnelles 186 6.6 Elif 187 6.7 Survol des structures de données 187 6.8 Les boucles 195 6.9 Les fonctions 199 6.10 Exercices 206 Coups de pouce 216 Solutions et commentaires 218 1 1 CHAPITRE 1 Savez-vous raisonner ? 1.1 Un brin de logique « Contrariwise, continued Tweedledee, if it was so, it might be; and if it were so, it would be; but as it isn’t, it ain’t. That’s logic. » Lewis Carroll − De l’autre côté du miroir Contexte On appellera proposition tout énoncé dont on peut décider s’il est vrai ou faux indépendam- ment de ses composantes. On distinguera la logique des propositions de la logique des prédicats, qui introduit des variables dans les assertions pouvant les rendre donc parfois vraies et parfois fausses. Par exemple « Je suis actuellement en salle 3 » est une proposition susceptible d’être vraie ou fausse dans toute situation alors que la valeur de vérité de « x est actuellement en salle 3 » dépend de x. En informatique, Vrai et Faux sont appelés des booléens, notés True et False en Python : >>> 2 > 3 False >>> 2 < 3 True >>> 2 + 2 == 4 True >>> len("Papa") == 2 + 2 True Implication Définition : implication A et B étant deux propositions, on note A B ⇒ (A implique B) la proposition qui est toujours vraie sauf quand A est vraie et B est fausse. On comprend alors mieux cette citation de Pierre Dac (dans Y’a du mou dans la corde à nœuds) : « Avec le mot SI on peut faire tout ce qu’on ne peut pas faire. » Chapitre 1 • Savez-vous raisonner ? 2 On peut résumer la situation dans une table de vérité car les propositions A et B ne peuvent prendre que deux valeurs donc il n’y a que quatre possibilités pour les valeurs du couple A B ( , ) : A B C F F V F V V V V V V F F Ainsi, le cas où A est fausse ne nous intéresse pas vraiment car on est sûr que l’implication sera vraie quelle que soit la valeur de vérité de B. Ainsi, A B ⇒ étant vraie, on peut dire que : • • SI A (est vraie) ALORS B (est vraie). • • A est vraie SEULEMENT SI B est vraie. • • IL SUFFIT que A soit vraie pour que B soit vraie. • • IL FAUT que B soit vraie pour que A soit vraie. • • A est une condition suffisante de B. • • B est une condition nécessaire de A. Exemple Soit A la proposition : x est un entier naturel. Soit B la proposition : x est positif. Les propositions suivantes sont vraies : • • SI x est un entier naturel ALORS x est positif. • • IL SUFFIT que x soit un entier naturel pour que x soit positif. • • IL FAUT que x soit positif pour que x soit un entier naturel. • • x est un entier naturel SEULEMENT SI x est positif. • • x entier naturel est une condition suffisante de x positif. • • x positif est une condition nécessaire de x entier naturel. On a bien « x est un entier naturel » implique que x est positif (A B ⇒ est vraie). Remarque B A ⇒ est la proposition réciproque de A B ⇒ . Contraposée Reprenons notre exemple : SI x n’est pas positif ALORS x ne peut pas être un entier naturel. On note A ¬ la négation de A. L’observation précédente signifie que B A ¬ ⇒¬ . Est-ce tou- jours le cas? Dressons la table ! A B A B ⇒ B ¬ A ¬ B A ¬ ⇒¬ F F V V V V F V V F V V 1.1 • Un brin de logique 3 A B A B ⇒ B ¬ A ¬ B A ¬ ⇒¬ V V V F F V V F F V F F Ainsi, dans tous les cas, A B ⇒ et B A ¬ ⇒¬ ont la même valeur de vérité. Ainsi, dans certains cas, pour démontrer une implication, il sera parfois plus simple de démontrer la contraposée. Remarque Dans un théorème du cours de mathématiques sous la forme SI hypothèse ALORS conclusion, on a en fait une implication « hypothèse ⇒ conclusion ». • • Si on a l’hypothèse vérifiée et le théorème démontré alors on peut en déduire que la conclusion est vraie. C’est le modus ponens. • • Si on a le contraire de la conclusion vérifié et le théorème démontré, alors on peut en déduire que le contraire de l’hypothèse est vrai. C’est le modus tollens. • • Par exemple, en supposant que la proposition « x est un entier naturel implique que x est positif » est un théorème, 3 étant un entier naturel, on en déduit que 3 est positif. • • On peut aussi dire que comme 3 − n’est pas positif, on en déduit que 3 − n’est pas un entier naturel. Contraire (négation) d’une proposition On voudrait savoir si la proposition « un nombre est positif implique que ce nombre est un entier naturel » est vraie. On « sent » bien que non. Par exemple 2 est bien positif (hypothèse vraie) mais pourtant ce n’est pas un entier naturel (conclusion fausse). Si on formalise, on a A ET B ¬ . Est-ce que par hasard A ET B ¬ ne serait pas la négation de A B ⇒ ? C’est quoi ET ? Pour être en accord avec le bon sens, on dira que A ET B est vrai seulement quand les deux propositions A et B sont simultanément vraies. On note cet opérateur ∧. A B B ¬ A B ∧¬ A B ⇒ F F V F V F V F F V V V F F V V F V V F Bingo ! Les deux propositions sont bien contraires. Or une proposition et son contraire ne peuvent pas être vraies simultanément (c’est ce qu’on appelle le tiers exclu). Puisque A B ∧¬ est vrai (dans le cas de 2), c’est que son contraire, A B ⇒ , est faux. Chapitre 1 • Savez-vous raisonner ? 4 Quantificateurs Un pour tous : ∀ Il y a quelque chose de pas très clair cependant. On a parlé d’un certain x, ou d’un certain entier… C’est un peu flou. Il vaudrait mieux écrire que notre théorème est en fait : « Quel que soit le nombre x, si x est un entier naturel alors il est positif. » Plus formellement, on a l’habitude de noter cela : x x x ( )( 0) ℕ ∀ ∈ ⇒ ≥ Ce symbole ∀ se lit « pour tout » (notation introduite par l’Allemand Gentzen en 1933 : « pour tout » se dit für Alle en allemand, d’où le A à l’envers). Un pour l’existence : ∃ Nous avons établi qu’il existait au moins un nombre positif ( 2) qui n’était pas un entier naturel. Cela s’écrit formellement : x x x ( uploads/Philosophie/ visa-pour-la-prepa-maths.pdf

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Philosophiefonction suite alors nombre solution
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