c ⃝Christophe Bertault - MPSI Séries numériques 1 Définitions et premières prop

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Séries numériques 1 Définitions et premières propriétés 1.1 Définitions Définition (Série numérique) Soit (un)n∈N une suite complexe. Pour tout n ∈N on pose : Un = n X k=0 uk (nème somme partielle). La suite (Un)n∈N est alors appelée la série de terme général un et notée X un.    Explication • Avec cette définition, une série n’est jamais qu’une suite. Du coup, avec les notations précédentes, dire que la série X un converge (resp. diverge) revient simplement à dire que la suite des sommes partielles (Un)n∈N converge (resp. diverge), et la nature de la série X un est sa convergence ou divergence. • Seulement voilà, si les séries ne sont que des suites, pourquoi faire une théorie des séries ? La théorie des suites n’est-elle pas suffisante ? La réponse est non. La grande question de la théorie des suites est : à quelle condition la suite (un)n∈N est-elle convergente ? La grande question de la théorie des séries est quant à elle : à quelle condition sur la suite (un)n∈N la série X un est-elle convergente ? Cette question appelle des résultats spécifiques qui sont l’objet du chapitre. Définition (Somme d’une série) Soit (un)n∈N une suite complexe. Si la série X un converge, sa limite est notée ∞ X n=0 un et appelée la somme de la série.    Explication Comme dans le cas des suites, les premiers termes d’une série n’ont pas d’influence sur sa nature (convergence ou divergence). Ils affectent en revanche la valeur de sa somme lorsqu’elle est convergente. Théorème (Série géométrique) Soit q ∈C. La série X qn, dite série géométrique de raison q, est convergente si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas : ∞ X n=0 qn = 1 1 −q . Démonstration Pour tout n ∈N : n X k=0 qk =    1 −qn+1 1 −q si q ̸= 1, n + 1 si q = 1. Le résultat découle de nos connaissances sur les limites des suites géométriques. ■ Exemple Soit α ∈R. La série X 1 nα , qu’on appelle une série de Riemann, est convergente si α ⩾2 et divergente si α ⩽0. Mais que se passe-t-il si α ∈]0, 2[ ? Un peu de patience. . . En effet Pour tout n ∈N∗, posons Un = n X k=1 1 kα . • Supposons α ⩾2. La suite (Un)n∈N∗est croissante car Un+1 −Un = 1 (n + 1)α ⩾0 pour tout n ∈N∗. Pour montrer qu’elle converge, i.e. que X 1 nα converge, il nous reste à montrer que (Un)n∈N∗est majorée. Or pour tout n ⩾2 : Un = 1+ n X k=2 1 kα α⩾2 ⩽1+ n X k=2 1 k2 ⩽1+ n X k=2 1 k(k −1) = 1+ n X k=2  1 k −1 −1 k  = 1+  1 −1 n  ⩽2. • Supposons α ⩽0. Pour tout n ∈N∗: Un α⩽0 ⩾ n X k=1 1 = n et par ailleurs lim n→∞n = ∞. Le théorème de minoration montre alors que lim n→∞Un = ∞. Comme voulu, X 1 nα diverge. 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI 1.2 Divergence grossière Théorème (Condition nécessaire de convergence d’une série) Soit (un)n∈N une suite complexe. Si X un converge, alors lim n→∞un = 0. Démonstration Pour tout n ∈N, posons Un = n X k=0 uk et faisons l’hypothèse que X un converge. Alors si S désigne la somme de cette série : un = Un −Un−1 − → n→∞S −S = 0. ■ Définition (Divergence grossière) Soit (un)n∈N une suite complexe. • On dit que la série X un diverge grossièrement si lim n→∞un ̸= 0. • Si X un diverge grossièrement, alors X un diverge (tout court).    En pratique Quand on vous demande de déterminer la nature d’une série X un, commencez tout de suite par vous demander si oui ou non lim n→∞un = 0. Si la réponse est non, c’est terminé : X un diverge (grossièrement). Si la réponse est oui, vous ne pouvez rien en déduire. $ $ $ Attention ! La réciproque de l’implication « X un converge = ⇒ lim n→∞un = 0 » est fausse en général : il ne suffit pas de montrer que lim n→∞un = 0 pour montrer que X un converge. Croire le contraire, c’est avouer qu’on n’a absolument rien compris à la théorie des séries, car la théorie des séries n’a de pertinence qu’à partir du moment où l’on ne peut se contenter de la seule théorie des suites. En résumé : une somme infinie de quantités qui tendent vers 0 peut ne pas converger. Exemple La série de Riemann X 1 n, dite série harmonique, diverge. Et pourtant lim n→∞ 1 n = 0. En effet (Preuve n ˚ 1) Raisonnons par l’absurde en supposant la série X 1 n convergente de somme S. Alors : 2n X k=n+1 1 k = 2n X k=1 1 k − n X k=1 1 k − → n→∞S −S = 0. Pourtant pour tout n ∈N∗: 2n X k=n+1 1 k ⩾ 2n X k=n+1 1 2n = (2n) −(n + 1) + 1 2n = 1 2. Contradiction ! En effet (Preuve n ˚ 2) La fonction x 7− →ln(1 + x) étant concave sur ] −1, ∞[, son graphe est situé sous sa tangente en 0 d’équation y = x. Il en découle que pour tout x ∈] −1, ∞[ : ln(1 + x) ⩽x. Du coup, pour tout n ∈N∗: n X k=1 1 k ⩾ n X k=1 ln  1 + 1 k  = n X k=1  ln(k + 1) −ln k  = ln(n + 1). Or lim n→∞ln(n + 1) = ∞. Le théorème de minoration montre alors que lim n→∞ n X k=1 1 k = ∞, donc comme voulu que X 1 n diverge. 1.3 Lien suite-série Théorème (Lien suite-série) Soit (an)n∈N une suite complexe. Alors la suite (an)n∈N converge si et seulement si la série X (an+1 −an) converge. Démonstration Pour tout n ∈N∗, par simplification télescopique : n−1 X k=0 (ak+1 −ak) = an −a0. Il en découle que le terme de gauche possède une limite finie lorsque n tend vers ∞si et seulement si le terme de droite fait de même. ■    Explication Grâce à ce théorème, on peut étudier une suite en se servant des techniques spécifiques de la théorie des séries, ou au contraire étudier une série au moyen des techniques de la théorie des suites. 2 c ⃝Christophe Bertault - MPSI Exemple La série X ln  1 + 1 n  diverge. En effet La suite (ln n)n∈N∗diverge, donc la série X  ln(n + 1) −ln n  également. 1.4 Opérations sur les séries Théorème (Opérations sur les séries) Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites complexes. • Pour tout λ ∈C∗, X un converge si et seulement si X (λun) converge. • Si X un et X vn convergent, alors X (un + vn) converge. • Si X un converge mais X vn diverge, alors X (un + vn) diverge. Démonstration Rien à prouver : nous connaissons ce résultat pour les suites et justement les séries sont des suites. ■ $ $ $ Attention ! • Si X un et X vn divergent toutes les deux, on ne peut rien dire en général de X (un + vn). Par exemple X 1 n diverge et X 1 n + X 1 n = X 2 n diverge aussi, mais X 1 n − X 1 n = 0 converge. • Si X un et X vn convergent, on ne peut rien dire en général de X unvn. Nous verrons plus tard que X (−1)n √n converge, mais X (−1)n √n × (−1)n √n  = X 1 n diverge. 2 Séries numériques à termes positifs On étudie à présent les séries dont le terme général est positif — sous-entendu : ou nul. Ce qui est vrai de ces séries serait en fait vrai des séries dont le terme général est négatif (ou nul). L’essentiel est donc, dans cette section, que le signe du terme général soit constant. $ $ $ Attention ! Quand vous utilisez l’un des théorèmes de cette section, n’oubliez surtout pas de vérifier et mentionner la positivité des suites étudiées. Hypothèse importante ! 2.1 Théorème fondamental des séries à termes positifs Théorème (Théorème fondamental des séries à termes positifs) Soit (un)n∈N une suite réelle positive. On pose, pour tout n ∈N : Un = n X k=0 uk. • La suite (Un)n∈N est croissante et possède donc une limite. • La série X un converge si et seulement si la suite (Un)n∈N est majorée. Démonstration La suite (Un)n∈N est croissante car Un+1 −Un = un+1 ⩾0 pour tout n ∈N. Le reste n’est qu’une réécriture du théorème de la limite monotone dans le cas croissant. ■  uploads/Philosophie/ cours-series-numeriques-35.pdf

Tags
Philosophiesérie suite théorème converge alors
Documents similaires
  • 23
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager