2 Sous la direction de Jean-Pierre RAMIS And

          2 Sous la direction de Jean-Pierre RAMIS André WARUSFEL Xavier BUFF • Emmanuel HALBERSTADT François MOULIN • Monique RAMIS Jacques SAULOY 2             Jean-Pierre Ramis, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, membre de l’Ins- titut (Académie des Sciences), membre de l’Institut Universitaire de France, professeur émérite à l’Institut de Mathématiques de Toulouse (Université Paul Sabatier). André Warusfel, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, a été professeur de mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand à Paris et inspecteur général de mathéma- tiques. Xavier Buff, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, membre junior de l’Institut Universitaire de France, professeur à l’Institut de Mathématiques de Toulouse, directeur de l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques de Toulouse. Emmanuel Halberstadt, ancien maître de conférences à l’UPMC (Paris), ancien chargé de cours d’agrégation aux Écoles normales supérieures d’Ulm et de Cachan. François Moulin, ancien élève de l’École normale supérieure de la rue d’Ulm, professeur de chaires supérieures au lycée Sainte-Geneviève (spéciales MP*). Monique Ramis, ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres, a été professeur de chaires supérieures (à Paris, Strasbourg, Toulouse). Jacques Sauloy, ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud, maître de confé- rences à l’Institut de Mathématiques de Toulouse. Illustration de couverture : © Ian 2010 - Fotolia.com © Dunod, 2007, 2014 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-071021-8 Préface Les mathématiques constituent l’ossature de la science moderne et sont une source intaris- sable de concepts nouveaux d’une efficacité incroyable pour la compréhension de la réalité matérielle qui nous entoure. Ainsi l’apprentissage des mathématiques est devenu indispen- sable pour la compréhension du monde par la science. Les nouveaux concepts eux-mêmes sont le résultat d’un long processus de distillation dans l’alambic de la pensée. Essayer de justifier les mathématiques par leurs applications pratiques n’a guère de sens, tant ce pro- cessus de création est sous-tendu par la soif de connaître et non l’intérêt immédiat. Les mathématiques restent l’un des domaines dans lequel la France excelle et ceci malgré la mutilation des programmes dans le secondaire et l’influence néfaste d’un pédagogisme dont l’effet principal est de compliquer les choses simples. Vues de loin les mathématiques apparaissent comme la réunion de sujets distincts comme la géométrie, qui a pour objet la compréhension du concept d’espace, l’algèbre, art de ma- nipuler les symboles, l’analyse, science de l’infini et du continu, la théorie des nombres etc. Cette division ne rend pas justice à l’un des traits essentiels des mathématiques qui est leur unité profonde de sorte qu’il est impossible d’en isoler une partie sans la priver de son es- sence. En ce sens les mathématiques ressemblent à un être biologique qui ne peut survivre que comme un tout et serait condamné à périr si on le découpait en morceaux en oubliant son unité fondamentale. L’une des caractéristiques de l’apprentissage des mathématiques, c’est la possibilité donnée à tout étudiant de devenir son propre maître et en ce sens il n’y a pas d’autorité en mathéma- tiques. Seules la preuve et la rigueur y font la loi. L’étudiant peut atteindre par le travail une maîtrise suffisante pour pouvoir s’il le faut tenir tête au maître. La rigueur, c’est être sûr de soi, et à l’âge où l’on construit sa personnalité, se confronter au monde mathématique est le moyen le plus sûr de construire sur un terrain solide. Il faut, si l’on veut avancer, respecter un équilibre entre les connaissances qui sont indispensables et le « savoir-faire » qui l’est autant. On apprend les maths en faisant des exercices, en apprenant à calculer sans l’aide de l’ordinateur, en se posant des questions et en ne lâchant pas prise facilement devant la dif- ficulté. Seule la confrontation réelle à la difficulté a une valeur formatrice, en rupture avec ce pédagogisme qui complique les choses simples et mélange l’abstraction mathématique avec le jeu qui n’a vraiment rien à voir. Non, les mathématiques ne sont pas un jeu et l’on n’apprend pas les mathématiques en s’amusant. L’ouvrage qui suit est un cours soigné et complet idéal pour apprendre toutes les Mathé- matiques qui sont indispensables au niveau de la Licence. Il regorge d’exercices (700) qui vi Préface incitent le lecteur à réfléchir et ne sont pas de simples applications de recettes, et respecte parfaitement l’équilibre nécessaire entre connaissances et savoir-faire, permettant à l’étu- diant de construire des images mentales allant bien au-delà de simples connaissances mé- morisées. Il s’agit d’un ouvrage de référence pour la Licence, non seulement pour les étu- diants en mathématiques mais aussi pour tous ceux qui s’orientent vers d’autres disciplines scientifiques. Il insiste sur la rigueur et la précision et va au fond des notions fondamentales les plus importantes sans mollir devant la difficulté et en respectant constamment l’unité des mathématiques qui interdit tout cloisonnement artificiel. Il répond à une demande de tant de nos collègues d’un ouvrage qui les aide à « redresser la barre », mais sera aussi un atout merveilleux pour l’étudiant travaillant seul par la cohérence et la richesse de son contenu. Il est l’œuvre d’une équipe qui rassemble des mathématiciens de tout premier plan ayant une véritable passion pour l’enseignement. Il était grand temps ! Alain Connes, Médaille Fields 1982, Professeur au Collège de France. Avant-propos Cet ouvrage est le deuxième d’une série de trois, conçue pour couvrir les programmes de mathématiques de la plupart des Licences scientifiques. Dans cette nouvelle édition nous avons, pour certains sujets (en particulier l’intégration), choisi une pédagogie plus progressive. Nous avons ainsi tenu compte, d’une part, de la mise en place des nouveaux programmes de l’enseignement secondaire et des modifications cor- rélatives des enseignements universitaires et, d’autre part, des remarques de nos lecteurs et de nos collègues enseignants. Cette présentation étant plus détaillée, certains sujets habituel- lement enseignés au niveau de la deuxième année de licence sont maintenant traités dans le troisième volume de la série, qui couvre par ailleurs un « tronc commun » des programmes de mathématiques au niveau de la troisième année. Ce cours est illustré d’exemples et applications, il propose de plus au fil du texte de nom- breux exercices corrigés qui permettront à l’étudiant de s’entraîner au fur et à mesure de son apprentissage, des notices historiques et un index très complet. On trouvera aussi à la fin de chaque « module » des exercices supplémentaires1 avec des indications de solutions. Une correction détaillée d’une grande partie de ces exercices est accessible sur le site de l’éditeur. Nos livres sont conçus comme une aide à l’enseignement oral dispensé par nos collègues dans les cours et travaux dirigés. L’ordre de lecture n’est pas complètement imposé et chaque étudiant peut se concentrer sur tel ou tel aspect en fonction de son programme et de son travail personnel. Ce livre peut aussi être utilisé par un enseignant comme ouvrage de base pour son cours, dans l’esprit d’une pédagogie encore peu utilisée en France, mais qui a largement fait ses preuves ailleurs. Nous avons aussi pensé à l’étudiant travaillant seul, sans appui d’un corps professoral. Dans les mathématiques d’aujourd’hui, un certain nombre de théories puissantes sont au premier plan. Leur maniement, au moins à un certain niveau dépendant de la filière choisie, devra évidemment être acquis par l’étudiant à la fin de ses années de licence. Mais celui-ci devra aussi avoir appris à calculer, sans s’appuyer exagérément sur les ordinateurs et les logiciels, à « se débrouiller » devant un problème abstrait ou issu des applications. Nous avons, à cette fin, mis en place une approche adaptée. Nous insistons aussi sur les exigences de rigueur (définitions précises, démonstrations rigoureuses), mais les choses sont mises 1Les plus difficiles sont marqués d’une ou deux étoiles. xvi Avant-propos en place de façon progressive et pragmatique, et nous proposons des exemples riches, dont l’étude met souvent en œuvre des approches multiples. Nous aidons progressivement le lec- teur à acquérir le maniement d’un outillage abstrait puissant, sans jamais nous complaire dans l’abstraction pour elle même, ni un formalisme sec et gratuit : le cœur des mathéma- tiques n’est sans doute pas un corpus de théories, si profondes et efficaces soient-elles, mais un certain nombre de problèmes dans toute leur complexité, souvent issus d’une réflexion sur le monde qui nous entoure. Historiquement, les mathématiques se sont développées pendant des siècles en relation avec les autres sciences. De nos jours, leurs interactions se poursuivent vigoureusement (avec la physique, l’informatique, la mécanique, la chimie, la biologie, l’économie...). Nous sou- haitons accompagner ce mouvement au niveau de l’enseignement des premières années d’université et aider à la mise en place, ici ou là, de filières scientifiques pluridisciplinaires contenant une composante mathématique pure ou appliquée. En particulier nous avons in- troduit de solides initiations aux probabilités et statistique ainsi qu’à l’algorithmique. Malgré tout le soin apporté à cet ouvrage il est inévitable que quelques erreurs subsistent. Nous prions le lecteur, qui pourra les signaler à uploads/Philosophie/ moeh-9782100710218.pdf

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Philosophierelation alors quotient sous-groupe morphisme
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