Cours de Statistique Mathématique1 Dr. Jude Eggoh Enseignant-Chercheur/FASEG/Un

Cours de Statistique Mathématique1 Dr. Jude Eggoh Enseignant-Chercheur/FASEG/Univ. d’Abomey-Calavi (Bénin) Année académique : 2017-2018 Licence 3 - Economie Appliquée 1Ce cours est en version provisoire et ne doit être cité ni di¤usé sans l’autorisation de l’auteur. Les remarques, commentaires et suggestions sont les bienvenues. E.mail. jude.eggoh@yahoo.fr Table des matières 1 Vecteurs aléatoires 4 1.1 Fonction de répartition et densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Changement de variable dans une densité . . . . . . . . . 6 1.2 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Densité marginale d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Densité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Espérances conditionnelles et partielles . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7.1 Espérances itérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7.2 Cas particulier de l’espérance conditionnelle : l’espérance partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Coe¢cient de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Moments et lois de probabilités 16 2.1 Les Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Moments théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Principales lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Propriétés générales d’un estimateur 27 3.1 Estimation sans biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Estimateur asymptotiquement sans biais . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Estimateur convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.1 Décomposition biais-variance du risque . . . . . . . . . . . 31 3.4.2 Comparaison des variances des estimateurs sans biais . . 31 3.4.3 E¢cacité d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4.4 Estimateur optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 4 L’estimation 36 4.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.1 Estimation par la méthode des moments . . . . . . . . . . 36 4.1.2 Estimation par la méthode du maximum de vraisemblance 39 4.2 Estimation par intervalle de con…ance . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2.1 Estimation par intervalle de con…ance d’une moyenne . . 45 4.2.2 Estimation par intervalle de con…ance d’une variance . . . 48 4.3 Estimation dans une population …nie d’e¤ectif N . . . . . . . . . 48 4.3.1 Estimation d’une proportion p . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3.2 Estimation de la moyenne m et de l’écart-type  d’une grandeur X distribuée sur une population …nie . . . . . . 49 4.4 Remarques sur l’estimation robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4.1 Quelques estimateurs robustes de tendance centrale . . . 50 4.4.2 L’estimateur Jackknife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 Tests statistiques 53 5.1 Introduction générale à la théorie des tests . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 Test entre deux hypothèses simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2.1 La méthode de Neyman et Pearson . . . . . . . . . . . . . 59 5.2.2 Etude de 1 : puissance du test . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Test entre hypothèses composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3.1 Test d’une hypothèse simple contre une hypothèse composite 65 5.3.2 Test entre deux hypothèses composites . . . . . . . . . . . 66 5.3.3 Test de rapport des vraisemblances maximales (LR) . . . 67 5.3.4 Le critère de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3.5 Le critère des multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . 70 5.3.6 Comparaison des trois critères . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 Tests d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4.1 Les méthodes empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4.2 Le test du 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2 Ce cours est destiné à des étudiants disposant de notions de base en statis- tique descriptive. Il a pour objectif de familiariser les étudiants à des concepts de statistiques approfondies et les prépare au cours d’économétrie. Il est accom- pagné de travaux dirigés (TD) qui fournissent des applications pratiques aux notions théoriques développées dans le cours. Ce cours présente les bases théoriques de la modélisation statistique, essen- tiellement dans un cadre paramétrique. L’approche inférentielle est privilégiée, et l’on traitera avant tout des méthodes d’estimation des paramètres, ainsi que de leurs propriétés, notamment en terme d’optimalité (asymptotique ou à dis- tance …nie). La théorie des tests d’hypothèses sera aussi abordée. La bibliogra- phie suivante a été utilisée pour préparer le cours. – [1] Gouriéroux, C. et Monfort, A. (1996), Statistique et modèles éonomé- triques, Edition Economica Tome 1. – [2] Kau¤man, P. (1994), Statistique : Information - Estimation - Tests, Edition Dunod. – [3] Lecoutre, J-P. (2002), Statistique et Probabilité, Edition Dunod. – [4] Lecoutre, J-P., Legait-Maille, S. et Tassi, P. (1990), Statistique : exer- cices corrigés avec rappels de cours, Edition Masson, 2 eme Edition com- plétée. – [5] Monfort, A. (1997), Cours de Statistique Mathématique, Edition Eco- nomica. – uploads/Philosophie/ couts-sta-math-l3.pdf

Tags
Philosophiefonction estimateur variable aléatoire densité
Documents similaires
  • 39
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager