Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Probabilité Prof. Auguste AMAN August 16, 2017 DENOMBREMENT Cardinal d'un ensem

Probabilité Prof. Auguste AMAN August 16, 2017 DENOMBREMENT Cardinal d'un ensemble ni Principes de comptage Méthodes de dénombrement Combinaisons Le choix d'un modèle ESPACE PROBABILISE Expérience aléatoire Probabilité Modélisation d'une expérience aléatoire Probabilités conditionnelles, indépendance VARIABLES ALEATOIRES Généralités Variables aléatoires discrète usuelles Variables aléatoires absolument continues usuelles DENOMBREMENT Cardinal d'un ensemble ni Principes de comptage Méthodes de dénombrement Combinaisons Le choix d'un modèle ESPACE PROBABILISE Expérience aléatoire Probabilité Modélisation d'une expérience aléatoire Probabilités conditionnelles, indépendance VARIABLES ALEATOIRES Généralités Variables aléatoires discrète usuelles Variables aléatoires absolument continues usuelles Introduction Le dénombrement consiste à déterminer le nombre d'éléments d'un ensemble ni. Ce chapitre fournit des méthodes de dénombrement particulièrement utiles en probabilités. Cardinal d'un ensemble ni Dé nition 1. Un ensemble E non vide est dit ni s'il existe un entier n et une bijection de {1, 2, . . . , n} sur E. Lorsqu'il existe, l'entier n est unique et est noté Card(E). C'est le cardinal ou le nombre d'éléments de E 2. Un ensemble E est dit dénombrable s'il existe une bijection de N sur E. 3. Un ensemble E est dit in ni non dénombrable s'il n'est ni ni, ni dénombrable. Cardinal d'un ensemble ni Proposition Soit E un ensemble ni et A, B deux parties de E et ¯ A le complémentaire de A dans E. On a: 1. Card(¯ A) = Card(E) −Card(A) 2. Card(A ∪B) = Card(A) + Card(B) −Card(A ∩B. 3. Si A ∩B = ∅alors Card(A ∪B) = Card(A) + Card(B) 4. Card(A × B) = Card(A) × Card(B) Principes de comptage additif Soit E un ensemble ni et A1, A2, . . . , An des parties de E constituant une partition de E, c'est à dire, 1. Ai ∩Aj = ∅pour i ̸= j 2. E = A1 ∪A2 ∪. . . ∪An. Alors nous avons Card(E) = n X i=1 Card(Ai). Lorsqu'on veut dénombrer un ensemble ni E, on peut trouver une partition A1, A2, . . . , An de cet ensemble, où les cardinaux des ensembles Ai sont plus faciles à déterminer. Il ne reste alors qu'à faire la somme des diérents cardinaux obtenus. Principes de comptage additif Exemple J'ai dans ma bibliothèque 50 livres de mathématiques en français et 40 livres de mathématiques en anglais (et aucun dans une autre langue). Je peux donc y choisir un livre de mathématiques de 50 + 40 = 90 façons diérentes. Principes de comptage multiplicatif Si une situation correspond à p choix successifs ayant chacun respectivement n1, n2, . . .,np possibilités alors le nombre total de possibilités est n1 × n2 × . . . × np. Exemple Une étudiante de Licence 1 de M.I a dans sa garde robes 4 chaussures, 7 pantalons et 13 chemises. De combien de façons diérentes peut-elle s'habiller. Méthodes de dénombrement: Arrangements avec répétition Soit p ∈N∗et E un ensemble ni de n éléments. Dé nition Un arrangement avec répétition de p éléments (ou p-liste) de E est une partie ordonnée de p éléments de E non nécessairement distincts. Cela revient à prendre p objets dans E en tenant compte de l'ordre dans lequel on les choisit, et en pouvant prendre plusieurs fois le même élémént. Proposition Le nombre d'arrangements avec répétition de p objets parmi n est np . Méthodes de dénombrement: Arrangements avec répétition Proof. En eet, on a n possibilités pour chaque place, soit n × n × . . . × n = np possibilités d'arrangement d'après le principe multiplicatif. Exemple Combien y a-t-il de numéros de téléphone commençant par 08? Un numéro de téléphone est constitué de 8 chires. Les 6 numéros qui suivent le ”08” sont des arrangements avec répétitions de 6 éléments de l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Il y en a 106 = 1000000 possibilités. Méthodes de dénombrement: Arrangements sans répétition Soit p ∈N∗et E un ensemble ni de n éléments tel que n ≥p. Dé nition Un arrangement de p éléments de E est une partie ordonnée de p éléments (distincts) de E. Proposition Le nombre d'arrangements de p objets parmi n est Ap n = n! (n −p)!. Méthodes de dénombrement: Arrangements sans répétition Proof. Nous avons n possibilités pour la première place, n −1 possibilités pour la deuxième place, n −2 possibilités pour la troisième place,. . . , (n −(p −1)) possibilités pour la dernière place. D'après le principe multiplicatif, le nombre total de possibilités est: Ap n = n × (n −1) × (n −2) × . . . × (n −(p −1)) = n! (n −p)!. Méthodes de dénombrement: Arrangements sans répétition Exemple (Le tiercé) Une course de chevaux comporte 20 partants. Combien peut-il y avoir de résultats possibles de tiercés dans l'ordre ? Soit E l'ensemble des numéros des chevaux. On a Card(E) = 20. Un tiercé correspond un arrangement de 3 éléments de E, il y en a A3 20 = 6840 possibilités. Permutation Soit E un ensemble ni de n éléments. Dé nition Une permutation de E est un arrangement des n éléments de E. Cela revient prendre les n éléments de E en tenant compte de l'ordre dans lequel on les choisit. Proposition Le nombre de permutations d'un ensemble E à n éléments est n! = n × (n −1) × . . . × 2 × 1. Méthodes de dénombrement: Permutation Proof. Nous avons n possibilités pour la première place, n −1 possibilités pour la deuxième place, n −2 possibilités pour la troisième place,. . . , 1 possibilités pour la dernière place. D'après le principe multiplicatif, le nombre total de possibilités est: n! = n × (n −1) × (n −2) × . . . × 1 = An n Méthodes de dénombrement: Permutation Exemple De combien de façons peut-on répartir 7 personnes sur 7 chaises? Désignons par p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7 les 7 personnes et posons E = {p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7}. Une répartition peut se voir comme une permutation de E, il y en a 7! = 5040. Exemple Une urne contient n boules distinctes. Tirer successivement les n boules en tenant compte de l'ordre de sortie des boules constitue une permutation de n éléments. Il y a n! possibilités. Méthodes de dénombrement: Combinaison avec répétition Dé nition Une p-combinaison avec répétition d'un ensemble ni E de cardinal n, est une application f de E dans {0, 1, · · ·, p}, telle que X x∈E f(x) = p. Plus précisément, si E = {x1, x2, · · ·, xn} alors f véri e f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn) = p. f s'appelle aussi une combinaison de n éléments pris p à p. Méthodes de dénombrement: Combinaison avec répétition Remarque Cette application indique pour chaque élément de E le nombre de fois qu'il est choisi; et si l'application associe la valeur 0 à un élément de E, alors l'élément n'est pas choisi. De plus la somme des nombres de répétitions doit bien être égale à p, si nous voulons exactement p objets éventuellement répétés. Méthodes de dénombrement: Combinaison avec répétition Théorème Soit E un ensemble ni de cardinal n, (n ∈N∗). Alors l'ensemble Kp(E) des p-combinaisons avec répétition de p est ni et son cardinal est égal à Γp n = Cp n+p−1 qui est le nombre de p-combinaisons sans répétition de n + p −1 éléments. Méthodes de dénombrement: Combinaison sans répétition Soit p ∈N∗et p un ensemble ni de n éléments tel que n ≥p. Dé nition Une combinaison de p éléments de p est une partie non ordonnée de E formée de p éléments distincts. Cela revient à prendre p objets distincts dans E sans tenir compte de l'ordre dans lequel on les choisit. Proposition Le nombre de combinaisons possibles de p objets pris parmi n est Cp n = Ap n p! = n! p!(n −p)!. Méthodes de dénombrement: Combinaison sans répétition Exemple Quel est le nombre de comités de 3 personnes que l'on peut élire dans une assemblée de 20 personnes. Le nombre de comités possibles est le nombre de combinaisons de 3 personnes parmi 20, soit C3 20 = 1140 Exemple Tirer simultanement p boules parmi n constitue une combinaison de p éléments parmi n éléments. Il y a Cp n possibilités. Application de la notion de combinaison: Binôme de Newton Proposition Soient a et b deux nombres rels et n un entier naturel non nul, alors: (a + b)n = n X k=1 Ck nakbn−k. Le choix d'un modèle ▶Si l'énoncé contient le mot successif, il faut tenir compte de tous les ordres dans lesquels on peut obtenir un événement donné. On doit souvent multiplier par le nombre d'ordres possibles le résultat trouvé pour un ordre déterminé. ▶Si l'énoncé contient les mots "successif et avec remise", cela signi e que l'ordre dans lequel on considère les éléments a de l'importance et qu'un élément peut éventuellement être répété. Le modèle mathématique est la p-liste ou arrangement avec répétition. uploads/Philosophie/ cml1.pdf