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1 UNIVERSITE MOHAMMED V RABAT FACULTE DES SCIENCES JURIDIQUES, ECONOMIQUES ET S

1 UNIVERSITE MOHAMMED V RABAT FACULTE DES SCIENCES JURIDIQUES, ECONOMIQUES ET SOCIALES RABAT AGDAL جامعة محمد الخامس الرباط كلية العلوم القانونية واالقتصادية واالجتماعية اكدال DEPARTEMENT DES SCIENCES ECONOMIQUES FILIERE : SCIENCES ECONOMIQUES ET GESTION PROBABILITES ADIL EL MARHOUM Année Universitaire 2020 – 2021 COURS DE PROBABILITES ADIL EL MARHOUM 2 INTRODUCTION La théorie des probabilités est constamment utilisée en analyse statistique. Elle permet notamment de déterminer statistiquement la probabilité d'un événement qui ne peut pas être testé directement. Les probabilités mathématiques sont largement utilisées en physique, en biologie, en sciences sociales ainsi que dans l'industrie et le commerce. Elles font l'objet d'applications dans des domaines aussi variés que la génétique, la mécanique quantique ou les assurances. Probabilités, ou théorie des probabilités, branche des mathématiques qui s'attache à mesurer ou à déterminer quantitativement la probabilité qu'a un événement ou une expérience d'aboutir à un résultat donné. Cette théorie est fondée sur l'étude des permutations et des combinaisons. Elle constitue la base de tous les travaux en statistiques. Historique On attribue en général à Blaise Pascal et à Pierre de Fermat l'invention au XVIIe siècle d'une première théorie des probabilités appliquée aux jeux de hasard, même si Jérôme Cardan s'était déjà penché sur la question dès le XVIe siècle. Cinquante ans plus tard, dans son ouvrage posthume Ars conjectandi (1713), Jacques Bernoulli systématisa le calcul des probabilités, en énonçant des théorèmes prometteurs tels que l'additivité des probabilités. Au même moment, en Angleterre, Abraham de Moivre introduisit la notion de loi normale dans son œuvre Doctrine of Chances. Le XIXe siècle fut marqué par la publication en 1814 de la Théorie analytique des probabilités de Laplace, dans lequel la théorie des probabilités est appliquée à la mécanique et aux statistiques. Cet ouvrage eut une influence considérable sur tous les mathématiciens de ce siècle. Avec les travaux de Darwin et du statisticien Quételet, la vision probabiliste du monde s'affirma encore davantage, englobant tous les domaines de la science. Le calcul des probabilités est certainement l’une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu’il ait en fait trois siècles et demi d’existence. Après s’être cantonné dans l’étude des jeux de hasard, il s’est introduit dans presque toutes les branches de l’activité scientifique, aussi bien dans l’analyse (théorie du potentiel), l’économie, la génétique (lois de Mendel), la physique corpusculaire (toutes les théories statistiques) que dans la psychologie et l’informatique, dont la source est l’étude de la quantité d’information, donnée probabiliste s’il en est. Il est rare de trouver un tel exemple de « recouvrement » dans le domaine scientifique. On peut, sans paradoxe, soutenir que toutes les mathématiques anciennes sont un cas particulier du calcul des probabilités, le certain étant de l’aléatoire dont la réalisation a une probabilité égale à 1. Le calcul des probabilités est né de l’étude des jeux de hasard. Ce dernier mot, transmis par l’Espagne, vient d’Arabie. L’arabe az-zahr , « dé à jouer », s’est transformé en azar , « hasard » (et souvent « revers ») en espagnol. La base philologique, si l’on peut dire, du calcul des probabilités est donc le jeu (pile ou face, jeu de roulette, cartes). Pascal et le chevalier de Méré sont certainement les premiers à avoir voulu introduire le quantitatif dans ces études et à les mathématiser. On essaye aujourd’hui de réduire l’importance de ce point de départ en cherchant un fondement axiomatique et en enseignant le calcul des probabilités sans parler de hasard (à COURS DE PROBABILITES ADIL EL MARHOUM 3 peine ose-t-on parler d’aléa). Il n’en est pas moins vrai que, sans l’activité des joueurs, le calcul des probabilités n’aurait sûrement pas vu le jour. Depuis le XVIIe siècle, de nombreux mathématiciens ont apporté une très importante contribution au développement de cette science : parmi les plus marquants, citons Laplace, dont le tome VII des Œuvres complètes est consacré au calcul des probabilités, et Denis Poisson, Carl Friedrich Gauss, Henri Poincaré, Émile Borel, Maurice Fréchet, Paul Levy, A. N. Kolmogorov et A. Khintchine. COURS DE PROBABILITES ADIL EL MARHOUM 4 ANALYSE COMBINATOIRE I. INTRODUCTION L'analyse combinatoire, fondée sur des formules de permutations et de combinaisons, possède d'importantes applications dans de nombreuses branches des mathématiques, comme par exemple dans la théorie des probabilités et en statistiques, où elles peuvent servir à compter le nombre d'arrangements possibles des éléments d'un système. Au cours de ce chapitre nous définirons pour commencer la notion de disposition ordonnée et disposition non ordonnée. Ensuite nous étudierons les différentes dispositions à savoir les permutations, les arrangements et les combinaisons. II. DISPOSITIONS Soient deux éléments a et b : • Si (a , b)  (b , a) alors on parle de disposition ordonnée. • Si (a , b)  (b , a) alors on parle de disposition non ordonnée. III. PERMUTATIONS Une permutation est une disposition ordonnée. Le nombre de permutations que l’on peut faire avec n éléments est : Pn = n ! = n  (n-1)  (n-2)  …  2  1 Exemple : Le nombre de permutations que l’on peut faire avec trois éléments a, b, c est : P3 = 3 ! = 3  2  1 = 6 Ces 6 permutations sont : (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), et (c,b,a). IV. ARRANGEMENTS Un arrangement de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition ordonnée de p de ces n éléments. On distingue les arrangements avec répétitions et les arrangements sans répétitions. 4.1. Arrangements sans répétitions C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux ne peut figurer qu’une seule fois dans le même arrangement. COURS DE PROBABILITES ADIL EL MARHOUM 5 Le nombre d’arrangements sans répétitions est : )! ( ! p n n A p n − = Exemple : Le nombre d’arrangements sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : 6 1 1 2 3 )! 2 3 ( ! 3 2 3 =   = − = A Ces 6 arrangements sont : (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), et (c,b). 4.2. Arrangements avec répétitions C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans le même arrangement. Le nombre d’arrangements avec répétitions est : np Exemple : Le nombre d’arrangements avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : 32 = 9 Ces 9 arrangements sont : (a,a), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,b), (b,c), (c,b) et (c,c). V. COMBINAISONS Une combinaison de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition non ordonnée de p de ces n éléments. On distingue les combinaisons avec répétitions et les combinaisons sans répétitions. 5.1. Combinaisons sans répétitions C’est le nombre de combinaisons que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux ne peut figurer qu’une seule fois dans la même combinaison. Le nombre de combinaisons sans répétitions est : )! ( ! ! p n p n C p n −  = Exemple : COURS DE PROBABILITES ADIL EL MARHOUM 6 Le nombre de combinaisons sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : 3 ! 1 ! 2 ! 3 2 3 =  = C Ces 3 combinaisons sont : (a,b), (a,c), et (b,c). 5.2. Combinaisons avec répétitions C’est le nombre de combinaisons que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans la même combinaison. Le nombre de combinaisons avec répétitions est : )! 1 ( ! )! 1 ( 1 −  − + = = − + n p p n C K p p n p n Exemple : Le nombre de combinaisons avec répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : 6 ! 2 ! 2 ! 4 2 4 2 1 2 3 2 3 =  = = = − + C C K Ces 6 combinaisons sont : (a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), et (c,c). COURS DE PROBABILITES ADIL EL MARHOUM 7 EXERCICES : ANALYSE COMBINATOIRE EXERCICE 1 Sur une étagère d'un meuble, de combien de façons différentes peut-on placer sur une même rangée six vers de couleurs différentes ? EXERCICE 2 Dans un jeu de loto on doit choisir une combinaison de 6 nombres différents parmi 24 nombres différents. Combien de combinaisons peut-on former si : a) l'ordre n'est pas important ? b) l'ordre est important ? EXERCICE 3 Combien de nombres de 4 chiffres peut-on former avec les 10 chiffres 0, 1, 2, …, 9 si : a) les chiffres peuvent se répéter ; b) les chiffres peuvent se répéter et le nombre est divisible par 5 ; c) les chiffres ne peuvent se répéter et le nombre est divisible par 2 ; d) les chiffres ne peuvent se répéter et le nombre est pair ; uploads/Philosophie/cours-probabilites.pdf