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1 Moulay El Mehdi Falloul Théorie des probabilités et de la statistique 2 3 Int

1 Moulay El Mehdi Falloul Théorie des probabilités et de la statistique 2 3 Introduction La Probabilité et les statistiques sont deux disciplines des mathématiques associées et indépendants à la fois. L’analyse statistique utilise souvent la théorie des probabilités. En outre, beaucoup de sujets dans les statistiques sont indépendants de la théorie des probabilités. La Probabilité est la mesure de la probabilité qu’un événement se produira. La Probabilité est utilisée pour quantifier une attitude d’esprit envers certaines propositions dont la vérité n’est pas certaine. La certitude que nous adoptons peut être décrite en termes de mesure numérique entre 0 et 1 (où 0 indique l’impossibilité et 1 indique la certitude). Un exemple simple du calcul des probabilités est celui du jet d’une pièce de monnaie. Puisque les 2 résultats sont réputées équiprobables, la probabilité de « face » est égale à la probabilité de « pile » et chaque probabilité est égale à 1/2 ou de façon équivalente elle est égale à 50 % de chance de « pile » ou « face ». La théorie des probabilités est largement utilisée dans beaucoup de domaines d’étude comme les mathématiques, les statistiques, les sciences économiques, la biologie, le jeu du hasard, la physique, l’intelligence artificielle, l’actuariat, l’informatique, l’aide à la décision, la sociologie. La théorie des probabilités est également utilisée pour décrire les régularités des systèmes complexes. Les Statistiques est l’étude de la collecte, de l’analyse, de l’interprétation, de la présentation et l’organisation des données. Dans l’application des statistiques, par exemple, dans un problème scientifique, industriel ou social, il faut tout d’abord une population ou un processus à étudier. Les populations peuvent être des sujets divers tels que « toutes les personnes vivant dans un pays » ou « chaque atome composant un cristal ». Elles abordent tous les aspects des données y compris la planification de la collecte 4 de données sur le plan de la conception des sondages et des études empiriques. Cet ouvrage comporte 10 chapitres qui portent sur les principales théories des probabilités et des statistiques ; l’analyse combinatoire, les théorèmes fondamentaux des probabilités, les variables aléatoires et lois de probabilités, les théories de l’échantillonnage et de l’estimation, les tests statistiques. 5 Chapitre I Concepts et théorèmes généraux I. L’analyse combinatoire L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités. Les probabilités dites combinatoires utilisent constamment les formules de l’analyse combinatoire développées dans ce chapitre. Un exemple des applications intéressantes de cette dernière est la démonstration du développement du binôme de Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale. On suppose que E est un ensemble fini non vide de n éléments. Par exemple, on peut imaginer que E est une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. I.1 Les p-listes d’éléments d’un ensemble de n éléments (Modèle : p tirages d’une boule parmi n, avec ordre et remise.) p désigne un naturel supérieur ou égal à 1. Il peut être supérieur à n. (Les p-listes d’éléments de E sont les éléments de Ep.) On tire une boule. On note son numéro. On la remet dans l’urne. On fait de même pour une 2ième boule, puis pour une 3ième,…, enfin pour une pième. On obtient ainsi une suite ordonnée de p numéros compris entre 1 et n, avec d’éventuelles répétitions. C’est une p-liste d’éléments de {1,2,3,…,n}. 6 Il y a n choix possibles du premier numéro. Pour chacun de ces n choix, il y a n choix possibles du second numéro. Il y a donc n2 façons de choisir les 2 premiers numéros. Pour chacun de ces n2 choix, il y a n choix possibles du 3ième numéro. Il y a donc n3 façons de choisir les 3 premiers numéros. Pour chacun de ces n3 choix, il y a n choix possibles du 4ième numéro. Il y a donc n4 façons de choisir les 4 premiers numéros. etc. On constate que : Les p-listes d’éléments d’un ensemble de n éléments sont au nombre de np. * Exercice : Le loto sportif Dans le jeu du loto sportif, le parieur doit remplir une grille où il indique les résultats qu’il prévoit pour treize matchs de football. Pour chacun des treize matchs, trois réponses sont possibles : l’équipe 1 est annoncée comme gagnante (réponse [1]), le résultat prévu est un match nul (réponse [N]), L’équipe 2 est annoncée comme gagnante (réponse [2]). Ces trois réponses recouvrent toutes les éventualités et, à l’issue du match, une et une seule se trouvera réalisée. Voici un extrait de grille : N° Equipe 1 Equipe 2 Pronostic 1 Nantes Marseille [1] [N] [2] 2 Strasbourg Auxerre [1] [N] [2] …… ……………. …………… ……………. 13 Bordeaux Metz [1] [N] [2] La règle du jeu est la suivante : sur chacune des treize lignes, le parieur coche une et une seule des trois cases [1], [N], [2] correspondant au résultat qu’il prévoit. C’est ce qu’on appelle remplir la grille. 1 De combien de façons différentes peut-on remplir la grille ? 2 Dénombrer les grilles pour lesquelles, à l’issue des matchs : a) toutes les réponses sont exactes ; 7 b) toutes les réponses sont fausses ; c) les trois premières réponses sont fausses et les dix autres exactes ; d) trois réponses et trois seulement sont fausses. 3 Pour gagner au loto sportif, il faut avoir au moins onze réponses exactes. Quel est le nombre de grilles gagnantes ? Il est possible de calculer le nombre des parties d’un ensemble de n éléments par une méthode analogue : On imagine que les n éléments sont numérotés de 1 à n. On se propose de définir une partie de l’ensemble. Il y a 2 possibilités pour le premier élément : le prendre ou le laisser. Pour chacune de ces 2 possibilités, il y a 2 possibilités pour le second : le prendre ou pas. Il y a donc 22 possibilités pour les 2 premiers éléments. Pour chacune de ces 22 possibilités, il y a 2 possibilités pour le 3ième : le prendre ou pas. Il y a donc 23 possibilités pour les 3 premiers éléments. etc. Ainsi : Il y a 2n parties dans un ensemble de n éléments. I.2 Les p-arrangements d’éléments d’un ensemble de n éléments (Modèle : p tirages d’une boule parmi n, avec ordre mais sans remise.) p désigne un naturel compris entre 1 et n. On tire une boule. On note son numéro. On ne la remet pas dans l’urne. On fait de même pour une 2ième boule, puis pour une 3ième,…, enfin pour une pième. On obtient ainsi une suite ordonnée de p numéros compris entre 1 et n, deux à deux distincts. C’est un p-arrangement d’éléments de {1,2,3,…,n}. Il y a n choix possibles du premier numéro. Pour chacun de ces n choix, il y a (n – 1) choix possibles du second numéro. Il y a donc n(n – 1) façons de choisir les 2 premiers numéros. Pour chacun de ces n(n – 1) choix, il y a (n – 2) choix possibles du 3ième numéro. 8 Il y a donc n(n – 1)(n – 2) façons de choisir les 3 premiers numéros. Pour chacun de ces n(n – 1)(n – 2) choix, il y a (n – 3) choix possibles du 4ième numéro. Il y a donc n(n – 1)(n – 2)(n – 3) façons de choisir les 4 premiers numéros. etc. On constate que : Les p-arrangements d’éléments d’un ensemble de n éléments sont au nombre de : 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 facteurs p ) 1 )...( 2 )( 1 ( + − − − p n n n n La différence entre une p-liste et un p-arrangement est que les répétitions sont possibles pour les p-listes, mais impossibles pour les p- arrangements. Par exemple (1, 1, 2) est une 3-liste mais pas un 3- arrangement. (2, 1, 3) est à la fois une 3-liste et un 3-arrangement. Tout p-arrangement est une p-liste. Les p-arrangements sont les p-listes sans répétition. * Exercice : le tiercé 20 chevaux sont au départ. Jouer, c’est prévoir dans l’ordre les numéros des 3 chevaux qui arriveront en tête. Combien y a-t-il de jeux ? De jeux gagnants dans l’ordre ? De jeux gagnants dans le désordre ? I.3 Les permutations des éléments d’un ensemble fini. Les factorielles Le nombre de façons de ranger les n éléments de E est aussi le nombre de n-arrangements d’éléments de E : il s’agit en effet de choisir sans remise un 1er élément puis un 2ième puis un 3ième, etc., jusqu’à l’épuisement de l’ensemble. Ce nombre est : n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…1. Effectuons le produit de la droite vers la gauche : nous reconnaissons le produit des entiers depuis 1 jusqu’à n compris. 9 Par définition, ce nombre est la factorielle de n. Il y a n! façons de ranger n éléments. n! = uploads/Philosophie/ theorie-des-probabilites-et-statistique.pdf