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L3M1 COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques Des équations différentiell

L3M1 COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I Des équations différentielles aux systèmes dynamiques I Robert Roussarie et Jean Roux THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AVEC ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE www.bibliomath.com DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AUX SYSTÈMES DYNAMIQUES Tome 1 Théorie élémentaire des équations diﬀérentielles avec éléments de topologie diﬀérentielle Robert Roussarie et Jean Roux Collection dirigée par Daniel Guin 17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France www.bibliomath.com Illustration de couverture : La formule est l’expression de la diﬀérentielle d’une application dans un cas particulier. La ﬁgure est une illustration du théorème de Poincaré-Bendixson, avec le comportement en spirale de l’orbite par un point x non récurrent du champ. Imprimé en France ISBN : 978-2-7598-0512-9 Tous droits d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute re- production ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justiﬁées par le caractère scientiﬁque ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. c ⃝2012, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A www.bibliomath.com TABLE DES MATIÈRES Avant-Propos vii I Éléments de topologie diﬀérentielle 1 1 Préliminaires de calcul diﬀérentiel 3 1.1 Diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Expressions de la diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Composition des diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Formule des accroissements ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Théorème de l’inverse, diﬀéomorphisme . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Variétés et sous-variétés 19 2.1 Variétés diﬀérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4 Diﬀéomorphisme entre variétés . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Sous-variété d’un ouvert de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Codimension. Sous-espaces vectoriels transverses . . . 30 2.2.2 Déﬁnition d’une sous-variété d’un ouvert de Rn . . . . 31 2.2.3 Premiers exemples de sous-variétés . . . . . . . . . . . 33 2.2.4 Espace tangent en un point d’une sous-variété . . . . 34 2.3 Valeur régulière d’application diﬀérentiable . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Équation cartésienne d’une sous-variété . . . . . . . . 35 2.3.2 Existe-t-il beaucoup de valeurs régulières ? . . . . . . 38 www.bibliomath.com Des équations différentielles aux systèmes dynamiques 2.4 Compléments sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.1 Espace tangent à une variété . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2 Plongement, immersion, submersion . . . . . . . . . . 44 2.4.3 Distance sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.4 Transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Points singuliers de fonctions 57 3.1 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.1 Déﬁnitions, notations et propriétés de base . . . . . . 57 3.1.2 Approximation de f au voisinage d’un point . . . . . 58 3.2 Points singuliers d’une fonction sur un ouvert . . . . . . . . . . 61 3.2.1 Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2 Rappels sur les formes quadratiques . . . . . . . . . . 62 3.2.3 Condition suﬃsante d’extrémalité . . . . . . . . . . . 64 3.3 Point singulier d’une fonction sur une sous-variété . . . . . . . 74 3.3.1 Déﬁnitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.3 Le cas de la codimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . 78 II Théorie élémentaire des équations diﬀérentielles 81 1 Généralités 83 1.1 Déﬁnition des champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.2 Image d’un champ par un diﬀéomorphisme . . . . . . . . . . . 85 1.3 Équation diﬀérentielle d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . 87 1.4 Équations diﬀérentielles générales . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2 Champs de vecteurs linéaires 93 2.1 Étude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.2 Résolution explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.3 Les champs linéaires de vecteurs de R2 . . . . . . . . . . . . . 107 3 Propriétés générales des trajectoires 111 3.1 Le principe du point ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2 Existence et unicité locales des trajectoires . . . . . . . . . . . 113 3.3 Flot d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.3.1 Trajectoire maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.3.2 Propriétés diﬀérentiables du ﬂot . . . . . . . . . . . . 121 3.3.3 Groupe à 1-paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.3.4 Équivalence à des champs de vecteurs à ﬂot complet 127 3.3.5 Exemples de ﬂots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 iv www.bibliomath.com Table des matières 4 Analyse qualitative des trajectoires 135 4.1 Champ sur une variété, intégrale première . . . . . . . . . . . 135 4.2 Type topologique des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3 Théorème du voisinage tubulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.4 Indice des points singuliers isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5 Récurrence 159 5.1 Propriétés des ensembles limites . . . . . . . uploads/Philosophie/ des-equations-differentielles-aux-systemes-dynamiques-tome-1-theorie-elementaire-des-equations-differentielles-avec-elements-de-topologie-differentielle-pdf.pdf