1 Fiche Synoptique : Dynamique des ensembles de Julia : Théorème de Fatou La dy

1 Fiche Synoptique : Dynamique des ensembles de Julia : Théorème de Fatou La dynamique consiste à s'intéresser aux itérés successifs d'une valeur par une fonction régu- lière : nous nous sommes intéressés en particulier aux polynômes complexes de degré 2. Quand la suite des itérés reste bornée, on dit que le point appartient à l'ensemble de Julia rempli du polynôme, ou bassin d'attraction. Le problème est de déterminer cet ensemble : je me suis inté- ressé à sa nature topologique. Il est apparu assez rapidement dans nos recherches qu'un résultat important à ce sujet était le théorème de Fatou : selon que 0 appartient ou non à l'ensemble de Julia rempli, l'ensemble de Julia rempli a une nature topologique très diérente. On peut donc grâce à ce théorème prévoir l'allure globale de l'ensemble de Julia rempli en s'intéressant à un unique point. Ayant trouvé une ébauche de démonstration par Douady [1], il a fallu s'intéresser à la théorie des revêtements pour la comprendre, ce qui a motivé l'étude de l'ouvrage [2]. La di culté était de ramener les notions présentées à des concepts accessibles avec le programme de classe prépa- ratoire. Dans le cas où 0 n'appartient pas à l'ensemble de Julia rempli, Douady conclut en utilisant une métrique de type transformation conforme. Cependant, malgré l'étude de [3], je n'ai pas réussi à m'approprier cette notion : j'ai donc admis le résultat qui en découlait. La quasi-totalité de la démonstration a donc été rendue accessible en dé nissant précisément les objets utilisés, ce qui nécessite d'acquérir la théorie mathématique qui s'appuie dessus, et en explicitant les points jugés évidents, qui le sont rarement à notre niveau. Ce résultat peut éventuellement être généralisé aux polynômes de degré supérieur, au moins de façon partielle, grâce à la généralité des résultats que nous avons démontrés sur les revêtements. 2 Dynamique des ensembles de Julia : Théorème de Fatou Aymeric Bouzy 2012 Introduction Le théorème de Fatou permet de connaître la nature topologique de l'ensemble de Julia rempli des fonctions de la variable complexe de la forme z 7→z2 + c. L'objectif est de démontrer le théorème de Fatou énoncé p.5. Dans les trois premières parties, je donne des dé nitions et certains théorèmes utiles concernant la connexité, les revêtements et l'indice d'un lacet par rapport à un point. On trouvera en annexe la démonstration des résultats préliminaires. 1 Connexité Proposition 1. Soit X un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) il n'existe pas de partition de X en deux ouverts non vides (ii) il n'existe pas de partition de X en deux fermés non vides (iii) les ensembles ouverts et fermés de X sont X et ∅ (iv) les applications continues de X dans {0, 1} sont constantes Dé nition 1. Un espace X véri ant l'une des propriétés précédentes est appelé connexe. Proposition 2. Les connexes par arcs sont connexes. Théorème 1. Pour toute suite décroissante (Un)n∈N de connexes compacts non vides d'un espace métrique, T n∈N Un est connexe compacte non vide. Dé nition 2. Un espace X est localement connexe par arcs si pour tout x ∈X, pour tout voisinage U de x, il existe un voisinage V de x, inclus dans U, connexe par arcs. 2 Revêtements Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel et B un espace topologique (non vide). 2.1 Revêtement Dé nition 3. Un revêtement de B indexé par S, où S est un espace discret, est un espace X muni d'une application continue π : X →B, appelée projection, telle que pour tout b ∈B, il existe U un voisinage ouvert de b tel qu'il existe un homéomorphisme φ, dit de trivialisation locale, rendant le diagramme suivant commutatif : 3 U × S ↠ U φ ↖ ↗π π−1(U) Dé nition 4. Un revêtement d'ordre n de B est un revêtement de B indexé par [|1, n|]. Lemme 1 (relèvement des chemins). Soit (X, π) un revêtement de B indexé par S. Soient b ∈B et x ∈π−1({b}). Pour tout chemin c d'origine b dans B, il existe un unique chemin ˜ c d'origine x dans X tel que c = π ◦˜ c. 2.2 Revêtement trivial Lemme 2. Soit (X, π) un revêtement de B d'ordre n.  Si B est connexe par arcs, X possède au plus n composantes connexes par arcs.  Si B est connexe par arcs et X possède exactement n composantes connexes par arcs, chacune contient exactement un antécédent de chaque élément de B. Dé nition 5. Un revêtement de B trivial d'ordre n est un espace X muni d'une application continue π : X →B telle qu'il existe un homéomorphisme φ rendant le diagramme suivant commutatif : B × [|1, n|] ↠ B φ ↖ ↗π X Les (φ−1(., i))1⩽i⩽n sont appelées les sections de π. Lemme 3 (trivialisation d'un revêtement). Soit B un connexe par arcs, localement connexe par arc. Soit (X, π) un revêtement de B d'ordre n. Si X possède n composantes connexes par arcs, alors (X, π) est un revêtement trivial d'ordre n de B. 2.3 Revêtement rami é Dans cette sous-partie, b désigne un élément xé de B. Dé nition 6. Un revêtement de B rami é en b d'ordre n est un espace X muni d'une applica- tion continue π : X →B telle que π−1({b}) soit réduit au singleton {x} et qu'il existe UB un voisinage ouvert de b, UX un voisinage ouvert de x, VB, VX deux voisinages ouverts de 0 dans C, φB, φX deux homéomorphismes tels que le diagramme suivant soit commutatif : UX π − → UB ↓φX ↓φB VX − → VB z 7− → zn (on dit qu'une expression de π au voisinage de b dans des cartes complexes est de la forme z 7→zn) et telle que (X \ {x}, ˜ π) soit un revêtement de B \ {b} d'ordre n. Lemme 4. Soit (X, π) un revêtement de B d'ordre n rami é en b. Soient b′ ∈B et x′ ∈ π−1({b′}). Pour tout chemin c de b′ à b tel que ∀t ∈[0, 1[ , c(t) ̸= b, il existe un unique chemin ˜ c d'origine x′ dans X tel que c = π ◦˜ c. 4 3 Indice d'un lacet par rapport à un point Proposition 3. * exp : C →C∗est un revêtement indexé par Z. * Si γ est un lacet de C∗, si ˜ γ est un relèvement de γ, la quantité 1 2iπ (˜ γ(1) −˜ γ(0)) est un entier relatif qui ne dépend pas de ˜ γ. Démonstration. Comme l'origine et l'extrémité du lacet sont égales, ˜ γ(0) et ˜ γ(1) dièrent d'un multiple entier de 2iπ. De plus, si ˜ γ est un relèvement d'origine x, ˜ γ + y −x est un relèvement d'origine y, et on conclut par unicité. Dé nition 7. Soit a ∈C. Soit γ un lacet de C \ {a} L'indice de γ par rapport à a est Iγ(a) = 1 2iπ (˜ γ(1) −˜ γ(0)) où exp ◦˜ γ = γ −a. Proposition 4. Iγ est continue sur C \ γ([0, 1]). Proposition 5. Iγ est constante sur les composantes connexes par arcs de C \ γ([0, 1]). Démonstration. Iγ est continue à valeurs dans un ensemble discret, donc localement constante, donc constante sur les composantes connexes par arcs de C \ γ([0, 1]). 4 Théorème de Fatou Soit c ∈C. On pose f : z 7→z2 + c dé nie sur C. On dé nit l'ensemble de Julia rempli J de f par J = {z ∈C | f n(z) = O(1)} On souhaite démontrer le théorème suivant : Théorème 2 (de Fatou). Si 0 ∈J, alors J est connexe. Si 0 / ∈J, alors J est un Cantor. La dé nition d'un Cantor est donnée page 7. 4.1 L'ensemble de Julia rempli de f est l'intersection d'une suite dé- croissante de compacts Proposition 6. ∀z ∈C, |z| > R = 1 + p 1 + 4|c| 2 ⇒ f n(z) − → n→+∞∞ et (|f n(z)|) est croissante On dé nit par récurrence la suite (Vn)n∈N par  V0 = BF (0, R) ∀n ∈N, Vn+1 = f −1(Vn) Proposition 7. (Vn)n∈N est une suite décroissante de compacts et J = T n∈N Vn. 5 Démonstration.  Si z ∈Vn+1, f n+1(z) ⩽R donc |f n(z)| ⩽R donc z ∈Vn  z ∈T n∈N Vn ⇔∀n ∈N, |f n(z)| ⩽R ⇔z ∈J 4.2 Hérédité de la connexité des Vn Soit n ∈N. Proposition 8. Si Vn est connexe par arcs et 0 ∈Vn+1, alors Vn+1 est connexe par arcs. Démonstration. Comme 0 ∈Vn+1, f : Vn+1 →Vn est un revêtement rami é en c d'ordre 2. Soit x ∈Vn+1, montrons qu'il existe un chemin de x à 0. Soit γ un chemin de f(x) à c = f(0) dans Vn. on pose t0 = inf{t ∈[0, 1]|γ(t) = c}. Par continuité de γ, γ(t0) = c : on peut donc redé uploads/Philosophie/ dynamique-des-ensembles-de-julia.pdf

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