CHAPITRE 1 Raisonnement Vocabulaire ensembliste A. E ´le ´ments de logique . .

CHAPITRE 1 Raisonnement Vocabulaire ensembliste A. E ´le ´ments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1. Construction de propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Me ´thodes de de ´monstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. Le raisonnement par re ´currence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. Le raisonnement par analyse et synthe `se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B. Notions sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1. Vocabulaire et notations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Re `gles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Familles d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 C. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. De ´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Fonction caracte ´ristique d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Image directe ou re ´ciproque d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Injection – Surjection – Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 D. De ´nombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1. Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. Re ´union d’ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Applications d’un ensemble dans un autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4. Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 E. Relation binaire sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1. Vocabulaire et notations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. Relation d’e ´quivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Me ´thodes : L’essentiel ; mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 E ´nonce ´s des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 11 Chapitre 1 : Raisonnement – Vocabulaire ensembliste A. E ´le ´ments de logique 1. Construction de propositions La logique (mathe ´matique) s’inte ´resse – aux re `gles de construction de phrases mathe ´matiques correctes : propositions ou e ´nonce ´s, – et aux re `gles permettant d’e ´tablir la ve ´rite ´ de ces phrases : the ´ore `mes ou proprie ´te ´s. Un axiome est une proposition que l’on pose comme vraie. Si P et Q sont des propositions construites a ` partir de propositions A, B, . . . , la notation P Q signifie que P et Q sont synonymes. De ´finition 1 Une table de vérité est un tableau qui indique si une proposition P, construite a ` partir de propositions A, B, C, . . . , est vraie ou fausse suivant les valeurs de ve ´rite ´ de A, B, C, . . . De ´finition par tables de ve ´rite ´ de A, A ∨B, A ∧B E ´tant donne ´ des propositions A, B, on de ´finit de nouvelles propositions : ✎(1) ✎(1)Dans ces tableaux, lors- qu’une proposition est vraie, on lui attribue la valeur 1, lorsqu’elle est fausse, on lui attribue la valeur 0. la ne ´gation «non A» de A, note ´e A, c’est la proposition contraire de A ; elle est vraie quand A est fausse et fausse quand A est vraie. la disjonction «A ou B», note ´e A ∨B, la conjonction «A et B», note ´e A ∧B. ✎(2) ✎(2) A∧A est toujours fausse. A A 0 1 1 0 A B A ∨B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B A ∧B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 De ´finition 2 Implication E ´tant donne ´ des propositions A et B, l’implication A ⇒ B est de ´finie par : A ⇒ B A ∨B . ✎(3) ✎(3) Noter que A ⇒B peut e ˆtre vraie sans que B le soit. Mais si A ⇒B est vraie, B est une condition ne ´cessaire pour A et A est une condition suffisante pour B. De ´finition 3 Équivalence E ´tant donne ´ des propositions A et B, l’e ´quivalence A ⇐ ⇒B est de ´finie par : A ⇐ ⇒B (A ⇒ B) ∧(B ⇒ A) . ✎(4) ✎(4) A ⇐ ⇒B et A B n’ont la me ˆme signification. A ⇐ ⇒B est vraie quand A et B sont simultane ´ment vraies ou fausses. Dans ce cas, A et B sont des con- ditions ne ´cessaires et suffi- santes l’une pour l’autre. A B A ⇒ B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 A B A ⇒ B B ⇒ A A ⇐ ⇒B 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 Proprie ´te ´ 1 E ´tant donne ´ une proposition A, on a : A ⇐ ⇒A. E ´tant donne ´ des propositions A et B, on a : A ∨B ⇐ ⇒A ∧B et A ∧B ⇐ ⇒A ∨B. (A ⇒ B) ⇐ ⇒(B ⇒ A). ✎(5) ✎(5) L’implication B ⇒A est l’implication contrapose ´e de A ⇒B. A ⇒ B ⇐ ⇒A ∧B. 12 E ´le ´ments de logique Proprie ´te ´ 2 E ´tant donne ´ des propositions A, B et C, vraies ou fausses, l’implication  (A ⇒ B) ∧(B ⇒ C) ⇒(A ⇒ C) est vraie. 2. Quantificateurs L’e ´nonce ´ A(x) peut e ˆtre vrai ou faux pour un e ´le ´ment x ∈E. ✎(6) ✎(6) Les e ´nonce ´s con- cernent les e ´le ´ments d’un ensemble. On forme de nouvelles propositions en s’inte ´ressant aux e ´le ´ments de E qui ve ´rifient cet e ´nonce ´. Notation 1 'x ∈E, A(x) exprime qu’il existe un e ´le ´ment de E qui ve ´rifie la proposition A. ✎(7) ✎(7) {x∈E/A(x)}≠[. «un» est a ` prendre au sens de «un au moins». Notation 2 ;x ∈E, A(x) uploads/Philosophie/ atomystiuque.pdf

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