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Plan du chapitre Echantillonnage et Quantification des Signaux Analyse Spectral

Plan du chapitre Echantillonnage et Quantification des Signaux Analyse Spectrale et Théorème de Shannon Chapitre 3. A. L’échantillonnage d’un signal analogique. 1. Principe. 2. Exemples. B. Le spectre d’un signal échantillonné. 3. Formulation mathématique du signal échantillonné. 4. Transformée de Fourier du signal échantillonné. 5. Cas des signaux aux spectres bornés. 6. Cas des signaux aux spectres non bornés. C. Quantification d’un signal échantillonné. 7. Principe 8. Types de quantification 9. Erreur de quantification 2 Tous les signaux que nous avons traites jusqu'a maintenant sont des signaux analogiques. Mais si on désire effectuer des traitements numériques sur ce type de signaux, il faudra les numériser. La numérisation d'un signal analogique x(t) comporte deux étapes: Introduction  La première consiste a échantillonner le signal dans le temps pour le rendre discret, c'est-a-dire prélever la valeur du signal aux instants kTe. Te est la période d‘échantillonnage.  La seconde étape de la numérisation est la quantification. Elle permet de représenter les échantillons x (kTe) à l'aide d'une suite binaire. NB: L‘échantillonnage d'un signal présente d'autant plus d'intérêt que sous certaines hypothèses, on arrive a reconstituer le signal x(t) analogique a partir des échantillons x (kTe). L'échantillonnage d'un signal analogique, représenté par une fonction f(t), consiste à construire un signal à temps discret obtenu en mesurant la valeur de f(t) toutes les Te secondes : fn = f(n.Te). Te : la période d’échantillonnage. Fe = 1/Te est dite la fréquence d’échantillonnage. Représentation schématique Te f(3.Te) f(t) t A. L’échantillonnage d’un signal analogique 1. Principe 3 Taux d'échantillonnage Qualité du son 44 100 Hz CD 22 000 Hz Radio 8 000 Hz Téléphone Exemple : ADC08B3000, 8-Bit. Remarque Dans la pratique, l’échantillonnage est réalisé par des circuits intégrés, qui font toute la conversion analogique numérique. A. L’échantillonnage d’un signal analogique 2.Exemples 4 x(t) δ(t – k.Te) = x(k.Te) δ(t – k.Te) = x(k) δ(t – k.Te) Te f(k.Te) f(t) t k.Te x(k) δ(t – k.Te) t k.Te f(k.Te) B. Le spectre d’un signal échantillonné 1. Formulation mathématique du signal échantillonné Mathématiquement, l'échantillon de x(t) qui correspond à t = k.Te est représenté par le produit de la fonction x(t) par une impulsion de Dirac unité centré sur k.Te. 5 Le signal échantillonné xe(t) noté x*(t) est, donc, formulé, mathématiquement, par le produit de x(t) et le peigne de Dirac unité de période Te. t f(t) t PgnTe(t) t Te x(k) δ(t – k.Te) Te x*(t) k.Te xe(t) = x*(t) = x(t) PgnTe(t) B. Le spectre d’un signal échantillonné 1. Formulation mathématique du signal échantillonné 6 xe(t) = x*(t) = x(t) PgnTe(t) La transformée de Fourier du signal x*(t) défini par : TF(x*(t)) = Tf(x(t)) * Tf(PgnTe(t)) Le spectre d’un signal échantillonné Transformée de Fourier du signal échantillonné 7 Calculer de la transformée de Fourier d’un peigne de Dirac: Tout d’abord le peigne de Dirac est une fonction périodique x(t) de période Te, déterminons son développement en série de Fourier: Les coefficients de Fourier sont : est 8 Le peigne de Dirac s’exprime par : Soit donc: PgnTe(t) t Te -Te/2 -Te/2 Le spectre d’un signal échantillonné 9 La transformée du peigne de Dirac est : TF(PgnTe(t))=fe.Pgnfe(f) f fe Le spectre d’un signal échantillonné 10 En fin la transformée du signal échantillonné est : Exemple de spectre d’un signal échantillonné Se(f) Le spectre d’un signal échantillonné Le spectre du signal échantillonné x*(t) est obtenu en périodisant avec une période égale à Fe sur l’axe des fréquences le spectre de x(t) multiplié par Fe. x(t) t Te x*(t) t X(f) f X*(f) f -Fe Fe B. Le spectre d’un signal échantillonné 2. Transformée de Fourier du signal échantillonné 11 Théorème d’échantillonnage Un signal x(t) est à spectre borné lorsque le support de sa transformée de Fourier X(f) est borné. X(f) = 0 pour toute fréquence f de valeur absolue supérieure strictement à une fréquence maximale fm. f X(f) -fm fm 3.1 Définition 3. Cas des signaux au spectre borné 12 Théorème d’échantillonnage On se propose d’échantillonner ce signal à une fréquence Fe. On distingue trois cas : Fe X*(f) -fm fm f f fm -fm Fe f fm -fm Fe = 2fm Fe < 2fm Fe > 2fm 13 Théorème d’échantillonnage Théorème de Shannon. Afin d’éviter toute déformation du spectre d’un signal par son échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage Fe doit être supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans ce signal. Exemple d’application L'oreille humaine peut capter les sons jusqu'à 16 kHz, quelquefois jusqu'à 20 kHz. Il convient donc, lors de la conversion, d'échantillonner le signal Audio à au moins 40 kHz, la valeur normalisée est 44,1 kHz. Fe > 2. fm 3.2. Théorème de Shannon. 3. Cas des signaux au spectre borné 14 Théorème d’échantillonnage 3.3. Reconstruction du signal à partir de ces échantillons. Soit x(t) un signal continu à spectre borné, échantillonné en respectant le théorème de Shannon. X(f) X*(f) f Comment peut on rétablir le signal continu x(t) à partir de x*(t)? 3. Cas des signaux au spectre borné 15 Théorème d’échantillonnage En domaine fréquentiel X(f) f X(f) = X*(f) . H(f) H(f) = 1/Fe pour –Fe/2 ≤ f ≤ Fe/2 0 ailleurs 16 L’échantillonnage a introduit une périodicité du spectre dans l’espace des fréquences; restituer le signal d’origine, c’est supprimer cette périodicité, c’est-à- dire éliminer les bandes images, opération qui peut être réalisée à l’aide d’un filtre passe bas: Théorème d’échantillonnage En domaine temporel d‘où : On a : X(f) = X*(f) . H(f) x(t) = x*(t) * h(t) = x*(t) * sin (π.Fe.t)/(π.Fe.t) Donc : 17 Théorème d’échantillonnage 18 Théorème d’échantillonnage Pour que le signal calculé x(t) soit identique au signal d’origine, il faut que le spectre X( f ) soit identique au spectre du signal d’origine. Comme le montre ci-dessus, cette condition est vérifiée si et seulement si le spectre d’origine ne contient pas de composantes aux fréquences supérieures ou égales à fe /2. Considérons le spectre suivant: f X(f) Ce signal possède une fréquence infinie alors pour éviter la déformation du spectre par échantillonnage, ce signal doit être échantillonné à une fréquence Fe infinie. 4.1. Enoncé du problème. 4. Cas des signaux au spectre non borné 19 Filtre Anti-repliement 4.2. Solution. Dans la pratique, on fixe une fréquence fm au dessous de laquelle, on considère que les harmoniques constituent le signal utile. Les fréquences au dessus de fm, correspond alors à des signaux bruits ou à des signaux assez faibles pour ne pas influencer le signal propre. fm -fm Afin d’éviter le repliement causé par l’échantillonnage, on doit le précéder par un filtrage passe bas, dit filtrage anti repliement. 4. Cas des signaux au spectre non borné 20 Théorème d’échantillonnage 21 Quantification 22 Le signal échantillonné - bloqué peut à ce stade être converti sous forme binaire (numérique) pour être stocké. Ce codage s'appelle la quantification. Le rôle de la quantification est de donner une image binaire d’un signal analogique : Passage Analogique – Numérique Signal Continu – Signal discret Tension – chiffre Théorie de la quantification Principe A chaque niveau de tension est associé une valeur binaire codée sur n bits: n bits vont permettre de distinguer 2n niveaux de tension répartis de -Vm à +Vm. On a ainsi un pas de quantification: Exemple: un signal de +/-5V codé sur 8 bits donnera un pas de quantification q=39mv. 23 Est une caractéristique en marche d’escalier. Chaque palier a une largeur d’un pas de quantification q. La passage d’un palier à un autre correspond à une variation de ‘1’ du code. Théorie de la quantification Caractéristique d’entrée – sortie d’un CAN: Le pas de quantification est aussi appelé quantum. Il correspond à la résolution du convertisseur. Le quantum est la plus petite variation de tension que le convertisseur peut coder. xk x(t) *q 24 Le bruit de quantification (t) est considéré comme un processus aléatoire, Il possède une densité de probabilité p(). Bruit de la quantification Pour une quantification uniforme, la densité de probabilité est uniforme sur l'intervalle [-q/2, q/2] avec : p()  0 q/2 1/q -q/2 Ce procédé introduit naturellement une distorsion qui dépend autant de la nature du signal que de la loi de quantification adoptée. On appelle distorsion ou bruit de quantification (t): 25 Quantification: Rapport Signal sur bruit On définit le rapport signal sur bruit en dB pour un système, le rapport de la densité de puissance du signal d’entrée du système par la densité du bruit qui affecte le signal utile :  Quantificateur uniforme sur N bits : Un quantificateur uniforme permet de représenter une valeur présente à son entrée sous forme d’un mot binaire de N bits, dans le cas d’un signal sinusoïdale de valeur maximale Vmax , la puissance S est donnée par : La valeur maximale crête peut être représentée numériquement par : Ce qui donne : 26 Quantification: Rapport Signal sur bruit La puissance du signal est : Puissance du bruit :  Calcul de la moyenne  :  Calcul de la puissance de l’erreur 2 : La puissance du bruit de quantification est : 27 uploads/Philosophie/ echantillonnage-et-quantification-chap-3.pdf