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NOUVELLE BIBLIOTHÈQUE MATHÉMATIQUE THÉORIE DES ENSEMBLES Nouvelle bibliothèque

NOUVELLE BIBLIOTHÈQUE MATHÉMATIQUE THÉORIE DES ENSEMBLES Nouvelle bibliothèque mathématique 1. M. Demazure, Cours d’algèbre 2. R. Mneimné, Éléments de géométrie. Actions de groupes 3. J.-P . Kahane et P . G. Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes 4. R. et A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes 5. J.-L. Krivine, Théorie des ensembles Ouvrage publié avec le concours du Ministère de l’Éducation nationale, de la Recherche et de la Technologie JEAN-LOUIS KRIVINE Théorie des ensembles CASSINI JEAN-LOUIS KRIVINE est professeur à l’Université Paris 7 depuis 1971. Il est l’auteur de plusieurs ouvrages de logique: Éléments de logique mathématique, en collaboration avec Georg Kreisel (Dunod, 1967; North Holland, 1967; Springer, 1972). Théorie axiomatique des ensembles (P.U.F., 1972; Reidel, 1971). Lambda-calcul, types et modèles (Masson, 1990; Ellis Horwood 1993). Catalogage Électre-Bibliographie Krivine, Jean-Louis Théorie des ensembles. −Paris: Cassini, 1998. Nouvelle bibliothèque mathématique −5 ISBN 2-84225-014-1 RAMEAU: ensembles, théorie des ensembles, théorie axiomatique des forcing DEWEY: 510: Fondements des mathématiques Public concerné: 2e et 3e cycle-Recherche Mathematics Subject Classification (1991): Primary 03Exx, 04-01, 04-02. Secondary 03B30, 06E10, 03G05. Imprimé sur papier permanent. c ⃝Cassini, Paris, 1998. à mes parents Introduction La théorie des ensembles, issue des travaux de Georg Cantor au siècle der- nier, est progressivement devenue le cadre axiomatique général dans lequel s’écrivent les mathématiques. Il y a beaucoup de systèmes d’axiomes pos- sibles pour la théorie des ensembles, mais le consensus s’est finalement réa- lisé sur l’un des plus puissants: la théorie de Zermelo-Frænkel. Ce n’est pas, il s’en faut de beaucoup, que la formalisation des mathématiques nécessite toute la force de cette théorie, mais bien plutôt à cause de l’intérêt mathéma- tique qu’elle présente par elle-même, de sa propre beauté interne. Le présent ouvrage, du moins on l’espère, la fera découvrir au lecteur, dans un parcours à travers ces étranges et incroyables objets mathématiques que sont les mo- dèles de la théorie des ensembles, dus essentiellement à l’invention de deux grands logiciens: Kurt Gödel et Paul Cohen. Bertrand Russell a défini les mathématiques comme la science où l’on ne sait pas de quoi l’on parle, ni si ce que l’on dit est vrai. C’est très bien observé, et particulièrement dans le domaine qui nous occupe ici: à cause du théorème d’incomplétude de Gödel, il faut, en effet, abandonner tout espoir de montrer que la théorie des ensembles ne comporte pas de contradiction. On ne sait donc pas si un modèle de la théorie de Zermelo-Frænkel existe, ce qui constitue la première étrangeté d’un tel objet, et pas la moindre. Tout ce que l’on peut obtenir, dans cette direction, c’est la non-contradiction relative: si l’on admet qu’une certaine théorie (celle de Zermelo-Frænkel, par exemple) est consistante, c’est-à-dire non-contradictoire, alors elle le reste quand on ajoute certains axiomes supplémentaires (par exemple l’axiome du choix). On le montre en supposant l’existence d’un modèle de la théorie en question, que l’on transforme en un modèle des axiomes étudiés. Ce livre expose les résultats classiques de non-contradiction relative en théorie des ensembles, que l’on obtient par les méthodes dites du «modèle intérieur» (première partie), et du «forcing» (seconde partie). Les axiomes de 1 2 Introduction Zermelo-Frænkel sont introduits dans les chapitres 1 et 2, qui développent les éléments indispensables pour toute démonstration de consistance relative - un des points essentiels étant la technique de définition par induction sur les ordinaux. Plusieurs exemples de modèles intérieurs sont ensuite construits dans les chapitres suivants. Le dernier, et le plus important, est, au chapitre 8, celui des ensembles constructibles, qui donne le théorème de Gödel sur la non-contradiction de l’axiome du choix et de l’hypothèse du continu [8]1. Les chapitres 12 et suivants, dans la seconde partie, exposent les résul- tats de Cohen sur l’indépendance de ces axiomes [2], et quelques-unes des applications de sa méthode du «forcing», ainsi que le rapport avec la théorie des algèbres de Boole complètes. En particulier, au chapitre 17, on montre un résultat fort connu de Robert Solovay sur la non-contradiction relative de l’axiome: «Toute partie de R est mesurable au sens de Lebesgue». En théorie des ensembles, on fait constamment référence au deuxième théorème d’incomplétude de Gödel, car il permet de mesurer la «force re- lative» d’une théorie par rapport à une autre (on parlera, par exemple, de «théories équiconsistantes»). Mais ce théorème lui-même peut être consi- déré comme un résultat de consistance relative, et une preuve «sémantique» en est donnée au chapitre 9. Le présent ouvrage constitue aussi une introduction aux considérables développements qu’a connus la théorie des ensembles à la suite des tra- vaux de Gödel et de Cohen, et qui ne sont pas abordés ici: on peut citer les innombrables résultats de consistance relative obtenus par la méthode du «forcing», mais aussi la théorie des grands cardinaux, l’axiome de déter- mination, particulièrement le remarquable résultat de Donald Martin sur la détermination des jeux boréliens [21], la théorie descriptive des ensembles, la théorie de Ronald Jensen de la structure fine de L, ... Plusieurs cours de troisième cycle, que j’ai donnés à l’Université Paris 7, ont servi de base à la rédaction de ce livre (la première partie reprend es- sentiellement le contenu de la Théorie axiomatique des ensembles [16], parue en 1969, puis en 1972, aux Presses Universitaires de France). Le niveau requis est donc, àpeu près, celui du deuxième cycle universitaire de mathématiques, mais il n’est supposé aucune connaissance mathématique spécifique, mis à part le dernier chapitre, qui utilise des rudiments de théorie de la mesure. Toutefois, on suppose que le lecteur possède une certaine pratique de la théorie naïve des ensembles et de la méthode axiomatique. Les connaissances logiques requises ne sont pas d’un niveau plus élevé, 1Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie, page 261. Introduction 3 mais sont malheureusement beaucoup moins répandues (en France): il s’agit de notions élémentaires sur le calcul des prédicats du premier ordre (forme prénexe, modèles d’un système d’axiomes du premier ordre, etc.). Elles sont utilisées à partir du chapitre 4; toutes les démonstrations sont faites (sauf pour la réduction d’un énoncé à la forme prénexe), mais sans doute trop rapidement pour un lecteur qui n’en aurait jamais entendu parler. Quelques notions supplémentaires de théorie des modèles, qui ne servent pas explicitement dans le texte, aideraient néanmoins beaucoup à la com- préhension: par exemple, il est facile de saisir la distinction entre les entiers intuitifs et les entiers d’un univers, ou entre ce qu’on appelle dans ce livre les énoncés et les formules, si l’on connaît l’existence des modèles non stan- dard de l’arithmétique de Peano. De même, la remarque page 48 va de soi, pour ainsi dire, lorsqu’on connaît le théorème de complétude du calcul des prédicats. Ces notions de logique sont indispensables pour la lecture du chapitre 9 (le théorème d’incomplétude de Gödel), ainsi que pour certains exercices. On les trouvera, par exemple, dans [3] (tome 1), [15] (chapitres 1, 2, 3), [22] (chapitres 1, 2, 3), [25] ou [28]. Le point de vue adopté dans ce livre pourra paraître étrange à ceux qui considèrent que la théorie axiomatique des ensembles doit être placée au dé- but des mathématiques (ce qui est peut-être vrai pour la théorie naïve). En effet, on ne demande pas au lecteur d’oublier unseul instant ce qu’il sait déjà en mathématiques; au contraire, on s’appuie essentiellement sur l’habitude, qu’il a acquise, de manier des théories axiomatiques, pour lui en présen- ter une nouvelle: la théorie des relations binaires qui satisfont les axiomes de Zermelo-Frænkel. Ensuite, et peu à peu, apparaît le trait qui la distingue parmi toutes les théories axiomatiques: les notions que l’on est amené natu- rellement à introduire pour étudier les modèles de cette théorie sont exacte- ment parallèles aux notions fondamentales des mathématiques (entiers na- turels, ensembles finis ou dénombrables, fonctions, etc.); et comme le vo- cabulaire mathématique ne possède pas deux noms différents pour chaque notion, on est contraint d’utiliser dans le modèle les mots courants du lan- gage mathématique, évidemment dans un sens tout différent de leur sens habituel. L’exemple classique de ce phénomène est connu sous le nom de paradoxe de Skolem, et consiste en ceci: d’après le théorème de Löwenheim- Skolem, si la théorie des ensembles est consistante, elle possède un modèle dénombrable. Comment est-ce possible, puisqu’en théorie des ensembles, on peut définir des ensembles non dénombrables, comme R par exemple? Ce «paradoxe» provient, bien sûr, de ce que le mot «dénombrable» change 4 Introduction de sens quand on l’interprète dans un modèle de la théorie des ensembles. On s’aperçoit, en fin de compte, que même le sens habituel de tous ces mots mathématiques courants n’est pas aussi clair qu’il y paraît de prime abord, et on peut chercher à le mieux comprendre à l’aide des nouveaux outils que nous a fournis l’étude de la théorie des ensembles (si l’on se posait ce problème en premier, on serait tenté, par manque d’outils, de l’escamoter en disant qu’en mathématiques, on ne fait que manipuler des symboles vides de sens). Il reste à déterminer ce qu’apporte exactement la théorie uploads/Philosophie/ krivine-j-l-theorie-des-ensembles-1998.pdf