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Année universitaire : 2020/2021 Ecole Mohammadia d’Ingénieurs Génie Modélisatio

Année universitaire : 2020/2021 Ecole Mohammadia d’Ingénieurs Génie Modélisation et Informatique Scientifique Promotion deuxième année Réalisé par : Encadré par : Bouchra BALK Mr.Abdallah ALAOUI AMINI Fedwa BENALI Kaoutar IBARZAQ IDRISSI KAITOUNI Malak INTRODUCTION À LA THÉORIE DE JEUX Rapport effectué dans le cadre du cours d’outils d’aide à la décision Remerciements Nous adressons nos remerciements à toutes les personnes ayant contribué de près ou de loin pour l’accomplissement de ce travail. Un grand merci spécialement et particulièrement à Monsieur Abdallah ALAOUI AMINI, notre honorable professeur au département Modélisation et Informatique Scientifique, pour ses précieuses recommandations et pour sa bienveillante patience, pour la confiance et la liberté qu’il a su nous accorder lors de la réalisation de ce projet. Il a aussi été très disponible tout au long de notre travail, n’hésitant pas à nous épauler et à nous conseiller judicieusement. Ce rapport n’aurait pas été possible sans son intervention consciente. Grâce à ce projet, nous avons pu déployer nos compétences d’ingénieurs en effectuant des recherches et en s’ouvrant à l’un des outils d’aide à la décision : La théorie des jeux. Qu’il puisse trouver dans ce travail le témoignage de notre sincère gratitude et notre profond respect. 2 Table des matières Remerciements......................................................................................................................................2 Résumé...................................................................................................................................................4 Introduction...........................................................................................................................................5 I. Définitions et Historique.................................................................................................................6 1. Définition....................................................................................................................................6 2. Historique...................................................................................................................................6 II. Représentations de jeux.................................................................................................................7 1. Forme normale...........................................................................................................................7 2. Forme extensive.........................................................................................................................8 III. Typologie de jeux........................................................................................................................8 1. Jeux coopératifs ou non coopératifs...........................................................................................8 2. Jeux à somme nulle ou somme non nulle...................................................................................9 3. Jeux simultanés et séquentiels...................................................................................................9 4. Jeux répétés..............................................................................................................................10 IV- Applications....................................................................................................................................10 1. Application à des phénomènes financiers....................................................................................10 a. Dilemme du déposant bancaire............................................................................................10 b. Deux Situations.....................................................................................................................11 c. Rôle de l’information............................................................................................................11 d. Aspect dynamique................................................................................................................11 e. Conclusion............................................................................................................................12 1. Application aux relations internationales.................................................................................12 a. Dissuasion nucléaire.............................................................................................................12 b. Le problème de la guerre commerciale................................................................................12 Conclusion............................................................................................................................................14 Bibliographie........................................................................................................................................15 3 Résumé Popularisée par des films tels que "A Beautiful Mind", la théorie des jeux est la modélisation mathématique de l'interaction stratégique entre des agents rationnels (et irrationnels). Au- delà de ce que nous appelons les «jeux» dans le langage courant, tels que les échecs, le poker, le football, etc., cela inclut la modélisation des conflits entre les nations, les campagnes politiques, la concurrence entre les entreprises et le comportement commercial sur des marchés tels que le NYSE. Durant ce rapport, nous essayerons de fournir les bases de la théorie des jeux : Nous définirons exactement les jeux et nous aborderons leurs représentations et leurs différents types, la forme étendue (que les informaticiens appellent les arbres de jeu), les jeux bayésiens (modéliser des choses comme les enchères), les jeux répétés et stochastiques, et plus encore. Nous inclurons une variété d'exemples, y compris des jeux classiques et quelques applications. 4 Introduction Dans de nombreuses situations de la vie quotidienne, la performance d’un acteur (individu, entreprise, pays...) ne dépend pas uniquement de son action, mais aussi de celles prises par les autres. Cette interdépendance stratégique est le domaine d’étude de la théorie des jeux. En effet, les jeux recouvrent diverses situations. « D’un point de vue formel, la théorie des jeux s’appuie sur les logiques épistémiques et les probabilités non additives pour formaliser les croyances croisées des joueurs et la notion centrale de connaissance commune » (B. Walliser, p. 271). Cette théorie de la décision et des jeux dépasse très largement le cadre étroit des jeux de sociétés, même si ces derniers ont constitué son premier objet d'étude et lui ont donné son nom dans la plupart des ouvrages disponibles dans le commerce. La théorie des jeux et de la décision est aujourd'hui assez répandue et utilisée dans les milieux universitaires, non seulement en économie (finance d'entreprise particulièrement), mais également par toute une classe d'autres sciences dans lesquelles l'étude des situations de confits est pertinente : sociologie, biologie, évolution, informatique (jeux vidéo), marketing... 5 I. Définitions et Historique 1. Définition  Une décision est le fait d'un acteur qui effectue un choix entre plusieurs solutions susceptibles de résoudre le problème, ou la situation, auquel il est confronté. D'une manière générale, la décision est l'action de l'esprit qui décide quelque chose ou se décide après délibération individuelle ou collective  La théorie des jeux est un domaine des mathématiques qui s'intéresse aux interactions stratégiques des agents. Elle se propose d'étudier des situations appelées « jeux » où des individus les « joueurs » prennent des décisions, chacun étant conscient que le résultat de son propre choix ses « gains » dépend de celui des autres. C'est pourquoi on dit parfois de la théorie des jeux qu'elle est une « théorie de la décision en interaction ». Les décisions ayant pour but un gain maximum et elles relèvent d'un comportement rationnel, elles peuvent directement se prêter au traitement mathématique à titre d’exemple le calcul d'extremums ou encore aux approches probabilistes. 2. Historique  Bien qu’ayant fait l’objet de résultats assez anciens, à partir des travaux de Blaise Pascal sur la question des parties qui a donné une première intuition des probabilités et de l’espérance mathématique, et de son étonnant pari. La théorie des jeux n’est devenue une branche importante des mathématiques qu’à partir des années 1940, et plus spécialement après la publication en 1944 de la Théorie des jeux et du comportement économique (Theory of Games and Economic Behavior) par John von Neumann et Oskar Morgenstern. Cet ouvrage fondateur détaillait la méthode vue plus haut de résolution des jeux à somme nulle.  La théorie rencontra lors de sa présentation une vive opposition de la part des états- majors : si ceux-ci acceptaient volontiers l’usage de tirages au hasard dans les jeux de Kriegspiel des écoles militaires, l’idée de remettre au sort, au nom des stratégies mixtes le fait d’escorter réellement ou non tel ou tel convoi n’enthousiasmait guère ceux qui, issus du terrain et sachant ce qu’étaient des pertes humaines, jugeaient le procédé pour le moins cavalier. 6  Vers 1950, John Nash a été le premier à présenter une définition d’une stratégie optimale pour un jeu à plusieurs joueurs, dite équilibre de Nash. Ce résultat tardif génial a été raffiné par Reinhard Selten ; cela leur a valu le "prix Nobel d'économie" en 1994 pour leurs travaux sur la théorie des jeux, avec John Harsanyi qui avait travaillé sur les jeux en information incomplète.  L’association entre jeu et nombre par Conway a été établie dans les années 1970. II. Représentations de jeux La représentation d’un jeu peut s’effectuer sous une forme normale ou sous une forme extensive. 1. Forme normale Un jeu est dit sous forme normale, ou stratégique, si l’ensemble des joueurs, l’ensemble des stratégies pour chaque joueur et tous les gains correspondant à chacune des combinaisons possibles sont donnés. Si le jeu ne comporte que deux joueurs et un nombre fini et raisonnable de stratégies possibles, alors on peut représenter le jeu sous forme d’un tableau appelé matrice des gains. Une extension de cette représentation à trois ou quatre joueurs est également possible, mais avec beaucoup de stratégies il devient difficile de s’y retrouver. Dans le cas de deux joueurs, nous adoptons la convention que le joueur 1 choisit la ligne et que le joueur 2 choisit la colonne de la matrice des gains. Un exemple d’un jeu qui peut être représenté sous la forme normale est le jeu appelé « la guerre des sexes ». Il est important de noter qu’une stratégie est un objet « compliqué » au sens où le joueur définit l’ensemble des actions qu’il prendra en tout point où il aura la main. Tout se passe comme si le joueur devait programmer une machine pour jouer à sa place : il ne doit pas laisser de situations imprévues y compris celles qui pourraient apparaître absurdes. Exemple : Deux suspects sont arrêtés par des policiers. Les policiers n’ont cependant pas assez de preuves pour les faire inculper. Ainsi ils les retiennent dans des cellules séparées et les interroge séparément et propose à chacun le même marché qui est le suivant :  Si un des deux prisonniers dénonce l’autre, il est remis en liberté alors que l’autre obtient la peine maximale de 6 ans.  Si les deux se dénoncent mutuellement, ils seront condamnés à une peine de 3 ans chacun.  Si les deux refusent de coopérer, la peine sera minimale, 1 an pour chacun des deux suspects, faute de preuves. 7 Cette offre possède comme représentation normale le tableau suivant : Se taire Dénoncer Se taire (1,1) (6,0) Dénoncer (0,6) (3,3) 2. Forme extensive Une forme extensive de jeu est un arbre de décision décrivant les actions possibles des joueurs à chaque étape du jeu, la séquence de tours de jeu des joueurs, ainsi que l'information dont ils disposent à chaque étape pour prendre leur décision. Cette information est représentée sous forme d'ensembles d'information qui forment une partition des nœuds de l'arbre, chaque classe de la partition contenant les nœuds non distinguables par le joueur à une étape du jeu. Si ces classes sont des singletons, c'est-à-dire que chacune est constituée d'un seul nœud de l'arbre du jeu, le jeu est uploads/Philosophie/ introduction-a-la-theorie-des-jeux-rapport.pdf