Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Méthodes numériques pour les EDPs Etude des problèmes elliptiques M1 IMAT-MApI3

Méthodes numériques pour les EDPs Etude des problèmes elliptiques M1 IMAT-MApI3 – EMMAI2B1 – 4 semaines de cours, 10h Stefan LE COZ Copyright c ⃝2018 Stefan LE COZ Published by Stefan LE COZ https://www.math.univ-toulouse.fr/ slecoz/ Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the “License”). You may not use this ﬁle except in compliance with the License. You may obtain a copy of the License at http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3. 0. Unless required by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License is distributed on an “as is” basis, without warranties or conditions of any kind, either express or implied. See the License for the speciﬁc language governing permissions and limitations under the License. First printing, December 2018 Contents 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Théorie des distributions en dimension un . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Exemples introductifs 9 2.2 L’espace des fonctions test D(I) 10 2.3 L’espace des distributions D′(I) 12 3 Espaces de Sobolev en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 L’espace H1(I) 15 3.2 Les espaces H1 0(I) et W k,p(I) 20 4 Problèmes aux limites en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1 Problème de Helmholtz, condition de Dirichlet homogène 24 4.2 Problème de Helmholtz, condition de Dirichlet inhomogène 26 4.3 Problème de Helmholtz, autres conditions au bord 27 4.4 Preuve du théorème de Lax-Milgram 27 5 Espaces de Sobolev en dimension supérieure . . . . . . . . . 29 5.1 L’espace H1(Ω) 29 5.2 Théorie des traces 30 6 Problèmes Elliptiques en dimension supérieure . . . . . . . 33 6.1 Problème de Helmholtz, condition de Dirichlet homogène 33 6.2 Le principe du maximum 35 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1. Introduction L’objectif de ce document est de fournir un cadre fonctionnel et quelques techniques pour la résolution d’équations aux dérivées partielles. Pour motiver les concepts et techniques mathématiques introduits par la suite, prenons l’exemple suivant. On considère une corde élastique tendue ﬁxée à l’horizontale entre deux points. En posant un objet sur cette corde (un funambule par exemple), on la soumet à une force qui la déforme par rapport à sa position de repos. Connaissant la force à laquelle la corde est soumise, on souhaite connaître la déformation subie par la corde. La modélisation mathématique de cette situation est la suivante. On considère la corde au repos comme le segment [0, L], L > 0 étant la longueur de la corde. Étant donné x ∈[0, L], la déformation de la corde est mesurée par la distance entre sa position sous tension et sa position au repos (voir Figure 1.1). On note f : [0, L] →R la fonction représentant la force exercée sur la corde. L’énergie totale du système est composée d’une part d’une énergie potentielle Figure 1.1: Corde soumise à une déformation. 6 Chapter 1. Introduction donnée par l’opposé du travail de la force f par rapport au déplacement u, i.e. − Z L 0 f (x)u(x)dx, d’autre part par l’énergie potentielle élastique dûe à la déformation de la corde. Sous l’hypothèse de petits déplacements, cette énergie peut être exprimée comme k 2 Z L 0 |u′(x)|2dx, où k > 0 est la constante de raideur de la corde. L’énergie totale du système serait donc donnée par E(u) = k 2 Z L 0 |u′(x)|2dx − Z L 0 f (x)u(x)dx. Le principe fondamental de la mécanique Lagrangienne nous dit alors que la corde va se déformer de façon à minimiser l’énergie totale du système. Autrement dit, le déplacement u : [0, L] →R est solution du problème de minimisation E(u) = inf v∈H E(v), où H est l’ensemble des déplacements admissibles. A priori, H = {v : [0, L] →R, dérivable, v′ ∈L2(0, L), v(0) = v(L) = 0}, est un choix raisonnable pour l’espace H. On s’apercevra par la suite que cet espace n’est pas vraiment adapté au problème (car il n’est pas complet) et qu’il est préférable de choisir H comme l’espace de Sobolev H1 0(0, L). Formellement, on peut dériver E par rapport à u et obtenir ainsi une forme linéaire E′(u), donnée pour tout v admissible par ∂ ∂t E(u + tv)|t=0, dont l’expression sera E′(u)v = Z L 0 (ku′v′ −f v)dx = Z L 0 (−ku′′ + f )vdx. Puisque u est un minimum de E, on s’attend à ce que E′(u) = 0, autrement dit u devrait être solution de l’équation diﬀérentielle −ku′′ = f . Inversement, étant donné l’équation diﬀérentielle ci-dessus, il peut s’avérer pratique d’eﬀectuer le chemin inverse et de la transformer en un problème variationel ad hoc. Le but de document est de fournir un cadre rigoureux à la démarche heuristique précédente, ainsi que des outils pour résoudre des équations aux dérivées partielles en les interprétant comme des problèmes variationels. On commencera par donner un cadre mathématique très général dans lequel la solution d’une équation diﬀérentielle n’est pas nécessairement une fonction, la théorie des distributions. Puis on étudiera des espaces fonctionnels dans lesquels les fonctions admettent des dérivées en un sens plus faible que le sens classique, les espaces de Sobolev. Enﬁn, on développera un certain nombre d’outils 7 pour étudier des équations diﬀérentielles et aux dérivées partielles de manière variationelle. L’étude sera faite en dimension un d’espace dans un premier temps et on considérera les problèmes posés en dimension supérieure dans un second temps. De nombreux ouvrages couvrent les notions mathématiques abordées dans ce document, on pourra notamment se référer aux ouvrages classiques [2, Chapitres VIII et IX] et [3, Chapitres 1 à 3]. Internet foisonne également de documents en rapport avec le sujet, on pourra par exemple consulter la page web de Grégoire Allaire [1]. 2. Théorie des distributions en dimension un Dans cette partie, nous introduisons les distributions dans le cas de la dimension 1. La plupart des résultats présentés sont cependant valables (mutatis mutandis) dans le cas de la dimension quelconque. Les résultats spéciﬁques à la dimension 1 seront indiqués. 2.1 Exemples introductifs Les distributions peuvent être considérées comme une généralisation de la notion de fonction. L’introduction des distributions est motivée par la diﬃculté de rendre compte rigoureusement de certains phénomènes physiques à l’aide simplement de la notion de fonction. Par exemple, la distribution (au sens physique) de charge dans un ﬁl représenté par le segment [0, L] peut être modélisée par une fonction f : [0, L] →R. La charge totale est alors R L 0 f (x)dx. La distribution est alors régulière et représentée par f . Cependant, si la charge totale est égale à 1 mais que toute la charge est concentrée en un point x0, par exemple x0 = 0, alors il n’existe pas de fonction f telle que f (x) = 0 pour tout x , 0 et en même temps R L 0 f (x)dx = 1. La distribution de la charge est dite singulière. L’analyse de l’équation des ondes            utt −uxx = 0, x ∈R, t ≥0. u(0, x) = f (x), ut(0, x) = 0. (2.1) nous fournit un autre exemple motivant l’introduction des distributions. En eﬀet, si f est régulière (de classe C2), alors la solution de (2.1) est donnée par u(t, x) = 1 2 (f (x + t) + f (x −t)) . 10 Chapter 2. Théorie des distributions en dimension un Cette formule a un sens même si f n’est pas régulière et on aimerait pouvoir dire qu’elle vériﬁe encore, en un certain sens, l’équation (2.1). Pour un troisième exemple, prenons une fonction v ∈L1 loc(R). Posons u(x) = c + R x 0 v(y)dy, c ∈R. Alors u est une fonction continue et dérivable presque partout, de dérivée v. La connaissance de v détermine u à une constante additive près. Considérons maintenant la fonction dite d’Heaviside, déﬁnie par H(x) = 0 si x < 0, H(x) = 1 uploads/Philosophie/ s8-cours.pdf