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INTRODUCTION GENERALE Mme. Emna Benmohamed Znaidia LFSI2 & LASI2 • la logique m

INTRODUCTION GENERALE Mme. Emna Benmohamed Znaidia LFSI2 & LASI2 • la logique mathématique en tant qu'informaticien: nous l'utilisons comme formalisme (système) de traitement de l'information. • Trois notions fondamentales en logique : • Langage : construction et formation de formules logiques à partir d'un alphabet de symboles : construction des formules. • Vérité : sémantique et signification des formules : signification des formules. • Preuve : enchaînement des formules en preuve et démonstration : démonstration des formules. • Il y a plusieurs types de logiques. Elles se distinguent selon les aspects sur lesquelles elles se concentrent. • En se restreignant aux applications linguistiques, on retrouve les grands groupes : • La logique propositionnelle • La logique des prédicats • La logique modale • La logique des types • La logique dynamique • 1- Définitions • La logique des propositions s'intéresse à des énoncés (les propositions) qui peuvent être soit vrais soit faux, ainsi qu'aux rapports entre ces énoncés. • Une proposition est un énoncé déclaratif. On traite ici les connexions ou les relations entre propositions. • Interpréter une proposition consiste à lui attribuer une valeur logique V (pour vrai) ou F (pour faux). • Exemple : • Interpréter les propositions suivantes : • -0 est l'élément neutre de l'addition. • -3 = 5. • -Il fait beau. • -S'il fait beau alors je me promènerai. LA LOGIQUE PROPSITIONNELLE : GENERALITES Mme. Emna Benmohamed Znaidia LFSI2 & LASI2 • La forme de l'énoncée n'est pas prise en compte mais uniquement sa sémantique. 2- Syntaxe • lettres propositionnelles, variables propositionnelles ou atomes dénotées par des lettres latines majuscules éventuellement indicées (ou bien des lettres minuscules). • Un ensemble des connecteurs: • Ensemble de délimiteurs : des parenthèses servant à lever l’ambiguïté dans la phrase.      , , , , • La forme de l'énoncée n'est pas prise en compte mais uniquement sa sémantique. 3- Formule Bien Formée FBF • formule bien formée ou wff : well formed formula. • Les formules bien formées sont définies inductivement comme suit : • Tout atome est une fbf, • Si A et B sont des fbf alors : ……………………………………………………………………………….… sont des FBF. • Toute formule bien formée est obtenue par un nombre fini d'applications des règles ci-dessus. • On note L = {fbf}. EXERCICE 4- Règles de suppression des parenthèses : • Ordre de priorité des connecteurs : (Le plus prioritaire) : On omet les parenthèses les plus externes, • Quand il y a un seul connecteur, l'association se fait de gauche à droite. Exemples : Récrire les expressions, en ajoutant des parenthèses pour les désambiguïser      , , , , Exercice d’application: Donner des expressions propositionnelles formalisant ces raisonnements. • Si Amélie porte ses livres, c’est qu’elle va à la faculté. Or, Amélie ne va pas à la faculté donc elle ne porte aucun livre. LA LOGIQUE PROPSITIONNELLE : SEMANTIQUE DES PROPOSITIONS Mme. Emna Benmohamed Znaidia LFSI2 & LASI2 • A chaque proposition, c'est-à-dire à chaque FBF, on veut attribuer une valeur sémantique. • Des FBF est faite de façon inductive à partir des atomes et des connecteurs. 1- Définition • Une interprétation du calcul propositionnel consiste à donner : 1. Domaine sémantique non vide D 2. Evaluation des atomes dans D      et , , , 3. Définition des connecteurs par des applications de D dans D pour et de D*D dans D pour . 2- Interprétation classique de la logique des propositions • D est un domaine binaire : {T, F}, noté aussi {Vrai, Faux}, {V, F}, ou {0,1} • Tout atome est T ou F . • La définition des connecteurs est décrite par des tables de vérité : 3- Interprétation d'une fbf • Dans D = {T, F} nous voulons évaluer une fbf. Il nous reste donc à assigner à chaque atome une valeur. • Pour chaque fbf G dont les atomes distincts sont A1, A2, …, An une interprétation de la fbf est une assignation des valeurs de vérité (T ou F) à chacun des Ai. • Si G comporte n atomes, il y a 2n interprétations. Pour les examiner de façon exhaustive, on utilise des tables de vérité. • Dans une interprétation d'une fbf A, on note A = T (resp F), l'assignation de A à T (resp F) Exercice: Donner les interprétations possibles des deux formules ci dessous : Fbf équivalents • Deux fbf G1 et G2 sont équivalents si et seulement si les valeurs de vérité de G1 et G2 sont les mêmes dans toute interprétation. On notera G1 G2. Fbf équivalents en logique des propositions : Soient A, B, et C des fbf :  FBF FBF équivalente transformer • On peut démontrer que ces formules sont équivalentes en montrant qu'elles ont les mêmes valeurs dans toutes les interprétations. Un moyen est donc de construire leur table de vérité. !!! simplifier l'écriture de formules bien formées. Définitions : -Une fbf est valide (tautologie) si et seulement si elle est T dans toute interprétation. -Une fbf est invalide si et seulement si elle n'est pas valide. -Une fbf est inconsistante (contradiction) si et seulement si elle est fausse dans toute interprétation. -Une fbf est consistante si et seulement si elle n'est pas inconsistante. Remarques : 1-Une fbf peut être à la fois invalide et consistante. 2-G est valide si seulement si G est inconsistante. 3-Si G est valide alors G est consistante; si G est inconsistante lors G est invalide. 4-Il existe une procédure effective pour déterminer si une fbf est valide : la table de vérité.  Définition : F1, F2, …, F3 sont des fbf. On dit que G est une conséquence logique des Fi (ou G découle logiquement dans Fi) si et seulement si toute interprétation qui satisfait toutes les Fi satisfait aussi G. Définition : Corollaire : Exemple : uploads/Philosophie/ log-prop-partie1.pdf