Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Chapitre 8 - Séries entières - Corrigés Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Vo

Chapitre 8 - Séries entières - Corrigés Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr CHAPITRE 8 Séries entières Exercice 1 : On note R le rayon de convergence de la série entière S étudiée. (i) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = (n +1)2 3n+1 3n n2 |z| = (n +1)2 3n2 |z| − − − − − → n→+∞ |z| 3 = ℓ. On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 3, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 3, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 3. (ii) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = e−(n+1)2 e−n2 = e−2n−1|z| − − − − − → n→+∞0 = ℓ. Pour tout z ∈C∗, on a ℓ< 1, donc la série S converge absolument. On conclut que R = +∞. (iii) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = ln(n +1) (n +1)2 n2 ln(n)|z|2 − − − − − → n→+∞|z|2 = ℓ. On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 1, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 1, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 1. (iv) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = (n +1)n+1 (n +1)! n! nn |z|3 = µ 1+ 1 n ¶n |z|3 − − − − − → n→+∞e|z|3 = ℓ. On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < e−1/3, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > e−1/3, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = e−1/3. (v) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = (n +1)! n! |z| = (n +1)|z| − − − − − → n→+∞+∞= ℓ. Pour tout z ∈C∗, on a ℓ> 1, donc la série S diverge grossièrement. On conclut que R = 0. (vi) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = Ã 2n +2 n +1 !Ã 2n n !−1 |z|4 = (2n +2)(2n +1) (n +1)2 |z|4 − − − − − → n→+∞4|z|4 = ℓ. On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 2−1/2, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 2−1/2, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 2−1/2. (vii) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = |2+i(n +1)| |2+in| |z| = p 4+(n +1)2 p 4+n2 |z| − − − − − → n→+∞|z| = ℓ. On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 1, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 1, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 1. (viii) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = |n +1+i| |2+i(n +1)| |2+in| |n +i| |z| − − − − − → n→+∞|z| = ℓ. 1/8 Chapitre 8 - Séries entières - Corrigés Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 1, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 1, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 1. (ix) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = |1+i|n+1 (n +1)2n+1 n2n |1+i|n |z|3 = p 2n (n +1)2|z|3 − − − − − → n→+∞ |z|3 p 2 = ℓ. On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 21/6, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 21/6, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 21/6. (x) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = (3n +3)! ((n +1)!)3 (n!)3 (3n)!|z|3 = (3n +3)(3n +2)(3n +1) (n +1)3 |z|3 − − − − − → n→+∞27|z|3 = ℓ. On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 1/3, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 1/3, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 1/3. (xi) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = |z|(n+1)2 |z|n2 = |z|2n+1 − − − − − → n→+∞ℓ=    0 si |z| < 1 1 si |z| = 1 +∞ si |z| > 1 . On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 1, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 1, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 1. (xii) Pour z ∈C∗, on a |un+1| |un| = |z|(n+1)! |z|n! = |z|n·n! − − − − − → n→+∞ℓ=    0 si |z| < 1 1 si |z| = 1 +∞ si |z| > 1 . On en déduit avec la règle de d’Alembert : • Si ℓ< 1, ce qui équivaut à |z| < 1, alors S converge absolument. • Si ℓ> 1, ce qui équivaut à |z| > 1, alors S diverge grossièrement. On conclut que R = 1. Exercice 2 : 1. On essaye d’appliquer la règle de d’Alembert. Pour x ∈R∗, on a an = ¯ ¯ ¯(n +1)(−1)n+1xn+1¯ ¯ ¯ ¯ ¯n(−1)n xn¯ ¯ = (n +1)(−1)n+1 n(−1)n |x|. Pour tout p ∈N, on obtient a2p = |x| 2p(2p +1) − − − − − → p→+∞0 et a2p+1 = (2p +2)(2p +1)|x| − − − − − → p→+∞+∞, donc la suite (an)n∈N∗ne converge pas et la règle de d’Alembert ne s’applique pas. 2. Il sufﬁt de distinguer selon la parité de l’entier n ∈N∗pour vériﬁer que l’inéga- lité est vraie. 3. Notons R le rayon de convergence de la série entière que l’on étudie. Par la question précédente, on a ∀n ∈N∗, 0 ⩽|x|n n ⩽n(−1)n|x|n ⩽n|x|n. De plus, on remarque avec la règle de d’Alembert par exemple que les séries entières X xn/n et X nxn ont pour rayon de convergence 1. • Si |x| > 1, alors la série X |x|n/n diverge, donc X n(−1)n|x|n diverge par com- paraison. Ainsi R ⩽1. 2/8 Chapitre 8 - Séries entières - Corrigés Lycée Blaise Pascal - TSI 2 - Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr • Si |x| < 1, alors la série X n|x|n converge, donc X n(−1)n|x|n converge par comparaison. Ainsi R ⩾1. On conclut que R = 1. Exercice 3 : Pour x ∈R∗, on a f (x) = sin(x) x = 1 x +∞ X n=0 (−1)n x2n+1 (2n +1)! = +∞ X n=0 (−1)n x2n (2n +1)!. De plus, l’égalité précédente reste valable pour x = 0. Comme f s’écrit sous la forme d’une série entière, on en déduit d’après le cours que f est C ∞sur R. Exercice 4 : Pour x ∈R∗, on a f (x) = ex −1 x = 1 x µ+∞ X n=0 xn n! −1 ¶ = +∞ X n=1 xn−1 n! = +∞ X n=0 xn (n +1)!. On prolonge f à R en posant f (0) = 1. L’égalité précédente reste valable pour x = 0. Comme f s’écrit sous la forme d’une série entière, on en déduit d’après le cours que f est C ∞sur R. Exercice 5 : (i) Par déﬁnition, pour tout x ∈R, on a ax = ex ln(a) = +∞ X n=0 lnn(a)xn n! . L’expression précédente étant valable pour tout x ∈R, le rayon de conver- gence de cette série entière est +∞. (ii) Pour tout x ∈R, on a ea+x = ea ·ex = ea +∞ X n=0 xn n! = +∞ X n=0 ea xn n! . L’expression précédente étant valable pour tout x ∈R, le rayon de conver- gence de cette série entière est +∞. (iii) Pour tout x ∈]−a,a[, on a ln(a + x) = ln(a)+ln ³ 1+ x a ´ = ln(a)+ +∞ X n=1 (−1)n+1 nan xn. On vériﬁe avec la règle de d’Alembert que le rayon de convergence de cette série entière est a. (iv) Pour tout x ∈]−a,a[, on a 1 a −x = 1 a · 1 1−(x/a) = 1 a · +∞ X n=1 xn an = +∞ X n=1 xn an+1 . On vériﬁe avec la règle de d’Alembert que le rayon de convergence de cette série entière est a. Exercice 6 : On note f la fonction que l’on souhaite développer en série entière. (i) Pour x ∈R, on a f (x) = ex cos(x) = Re(e(1+i)x), donc f (x) = Re µ+∞ X n=0 (1+i)nxn n! ¶ = +∞ X n=0 2n/2 n! cos ³nπ 4 ´ xn. L’égalité uploads/Philosophie/ series-entieres-exercices-cor.pdf