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Résumé intégrales généralisées Gilbert Primet 3 novembre 2013 On est invité à r

Résumé intégrales généralisées Gilbert Primet 3 novembre 2013 On est invité à réﬂéchir aux exemples donnés. 1 Convergence, divergence d’une intégrale 1.1 Déﬁnitions 1. Soit f ∈C M([a,b[,K)(K = RouC , (a,b) ∈R×R, a < b On dit que l’intégrale Rb a f (t)dt converge lorsque l’application de [a,b[ dans K :x 7→ Rx a f (t)dt possède une limite ﬁnie lorsque x tend vers b. Cette limite est alors appelée l’intégrale de a à b de f et est notée : Rb a f (t)dt. Si l’intégrale Rb a f (t)dt ne converge pas, on dit qu’elle diverge. Étudier la nature d’une intégrale, c’est dire si elle converge ou si elle diverge. Remarques (a) Si b est réel et si f admet une limite ﬁnie en b, alors, l’intégrale Rb a f (t)dt converge. On dit qu’elle est faussement généralisée. (b) Si b = +∞et si f admet une limite en b autre que 0, alors, Rb a f (t)dt diverge. On dit que la divergence est grossière. Par contrapposition, si l’intégrale R+∞ a f (t)dt converge et si f a une limite ﬁnie en +∞, cette limite est forcément 0. Attention, f peut ne pas avoir de limite en +∞. Exemple : soit f la fonction déﬁnie sur R+ par : Pour tout n ∈N∗, f est afﬁne par morceaux sur [n,n + 1] : f (n + 1 2) = n, f est nulle sur h n,n + 1 2 − 1 3n3 i et sur h 1 2 + 1 3n3 ,n +1 i , f est afﬁne sur h n + 1 2 − 1 3n3 ,n + 1 2 i et sur h n + 1 2,n + 1 2 + 1 3n3 i . Enﬁn, f est nulle sur [0,1]. (Faire un dessin) f n’a pas de limite en +∞, mais R+∞ 0 f (t)dt converge. (c) Si c ∈]a,b[, les intégrales Rb a f (t)dt et Rb c f (t)dt sont de même nature, et en cas de convergence : Zb a f (t)dt = Zc a f (t)dt + Zb c f (t)dt (Relation de Chasles) (d) Si Rb a f (t)dt converge, alors limx→b−Rb x f (t)dt = 0 2. On a des notions identiques lorsque f est continue par morceaux sur ]a,b], en considérant la limite de x 7→ Rb x f (t)dt en a. 3. Soit f ∈C M(]a,b[,K), on dit que Rb a f (t)dt converge lorsque pour un certain c ∈]a,b[, les intégrales Rc a f (t)dt et Rb c f (t)dt convergent. Lorsque c’est le cas , on pose par déﬁnition : Zb a f (t)dt = Zc a f (t)dt + Zb c f (t)dt 1 (La nature de l’intégrale et sa valeur sont indépendantes de c d’après la relation de Chasles). Remarque Selon l’exemple, on aura affaire à une intégrale généralisée sur un intervalle de type [a,b[,]a,b],]a,b[,··· ou non généralisée (Fonction continue par morceaux sur un seg- ment [a,b]). Il appartient au lecteur de déterminer le cas où l’on est, en prenant garde de ne pas inclure une extrémité où l’intégrale n’est pas généralisée). 4. Exemples de référence ∀a ∈R∗ + R+∞ 0 e−atdt converge et : R+∞ 0 e−atdt = 1 a R1 0 ln(t)dt converge. R+∞ 1 dt tα converge ⇐ ⇒α > 1 R1 0 dt tα converge ⇐ ⇒α < 1 1.2 Propriétés 1.2.1 Somme f et g sont des fonctions continues par morceaux sur un intervalle d’extrémités a et b. – Si Rb a f (t)dt et Rb a g(t)dt convergent, alors Rb a (f (t)+ g(t))dt converge et Zb a (f (t)+ g(t))dt = Zb a f (t)dt + Zb a g(t)dt – Si Rb a f (t)dt converge et Rb a g(t)dt diverge , alors Rb a (f (t)+ g(t))dt diverge. – Si Rb a f (t)dt et Rb a g(t)dt divergent, alors on ne peut rien dire sur la nature de Rb a (f (t)+ g(t))dt 1.2.2 Produit par un scalaire Soit λ ∈K∗Alors, les intégrales Rb a f (t)dt et Rb a λf (t)dt sont de même nature, et en cas de convergence : Zb a λf (t)dt = λ Zb a f (t)dt 1.2.3 Cas des fonctions à valeurs complexes Rb a f (t)dt converge si et seulement si Rb a Re(f )(t)dt et Rb a Im(f )(t)dt convergent et en cas de convergence : Zb a f (t)dt = Zb a Re(f )(t)dt +i Zb a Im(f )(t)dt 1.2.4 Conjugaison Si Rb a f (t)dt converge, alors Rb a f (t)dt converge et Rb a f (t)dt = Rb a f (t)dt 1.2.5 Cas d’une décomposition de la fonction à intégrer Lorsque la fonction à intégrer est décomposée en somme, par exemple, dans le cas d’une décomposition en éléments simples, il convient de rester prudent : les intégrales des différents termes peuvent diverger, même si l’intégrale initiale converge. Dans ce cas il faut rester entre des bornes ﬁnies puis passer à la limite, en recherchant les compensations de termes. Exemple : Calculer R+∞ 0 dt (t+1)(t2+1) 2 2 Cas des fonctions à valeurs réelles positives 2.1 Ordre et comparaison Soient f et g des fonctions continues par morceaux sur [a,b[ à valeurs réelles positives. majoration Rb a f (t)dt converge ⇐ ⇒(x ∈[a,b| 7→ Rx a f (t)dt) est majorée. Si c’est le cas : Zb a f (t)dt = sup x∈[a,b[ Zx a f (t)dt Prépondérance,négligeabilité Si f = Ob(g) alors : Rb a g(t)dt converge⇒ Rb a f (t)dt converge. (et donc par contrapposition : Rb a f (t)dt diverge ⇒ Rb a g(t)dt diverge.) (Ceci vaut donc en particulier si f = ob(g)) Application classique : comparaison à une intégrale de Riemann par calcul de la limite en b de tα f (t) (si b = +∞), ou de (b −t)α f (t) (Si b ∈R ), avec α judicieusement choisi. Ordre Si f É g alors : Zb a g(t)dt converge ⇒ Zb a f (t)dtconverge et Zb a f (t)dt É Zb a g(t)dt (et donc par contrapposition : Rb a f (t)dt diverge ⇒ Rb a g(t)dt diverge) (Il sufﬁt d’avoir l’inégalité f É g sur un certain intervalle [c,b[, c ∈[a,b[) Équivalents Si f ∼b g, alors Rb a f (t)dt et Rb a g(t)dt sont de même nature. Remarques 1. Il sufﬁt que f (ou g) soit de signe constant au voisinage de b 2. La condition du signe est essentielle. On pourra par exemple montrer en exercice que R+∞ 1 (−1)E(t) p t dt converge, alors que R+∞ 1 ³ (−1)E(t) p t + 1 t ´ dt diverge, bien que les deux fonc- tions à intégrer soient équivalentes en +∞ 3. Pour le calcul de l’intégrale, on ne peut bien sûr pas remplacer une fonction par une fonction équivalente. Cas d’un l’intervalle ]a,b] On a des théorèmes identiques, en les transposant bien entendu en a. Remarque Pour l’application d’un critère, on risque parfois d’introduire des problèmes de diver- gence à l’autre extrémité de l’intervalle en changeant de fonction. Il faut alors restreindre l’intervalle. Un cas classique est la comparaison en +∞avec 1 tα . 2.2 Comparaison série-intégrale 2.2.1 Théorème de comparaison série-intégrale Soit f une fonction continue par morceaux, positive, décroissante sur [N,+∞[,N ∈N. Alors : 1. La série de terme général wn = Rn n−1 f (t)dt −f (n) converge 2. La série P nÊN f (n) et l’intégrale R+∞ N f (t)dt sont de même nature. 2.2.2 Exemples 1. La série de Riemann P nÊ1 1 nα converge si et seulement si α > 1 3 2. La série de Bertrand P nÊ2 1 nα ln(n)β , (α,β) ∈R2 converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1). (En fait si α est différent de 1, on utilise la comparaison avec 1 nβ , où β est compris entre α et 1. La comparaison série-intégrale n’est utilisée que dans le cas α = 1 pour β > 0.) 3. On peut aussi utiliser des intégrales pour encadrer la somme partielle d’une série ou le reste d’une série P f (n), où f est une fonction monotone positive, pour par exemple trouver un équivalent de la somme partielle (lorsque la série diverge) ou du reste (lorsque la série converge). On pourra par exemple examiner le cas des séries de Riemann P 1 nα : Si α < 1,Sn ∼ 1 1−αn1−α et si α > 1 Rn ∼ 1 α−1 1 nα−1 2.3 Convergence absolue On revient à des fonctions quelconques 2.3.1 Convergence absolue Soit I un intervalle non trivial et f une fonction de I dans K continue par morceaux. On dit que l’intégrale R I f (t)dt converge absolument lorsque R I |f (t)|dt converge. 2.3.2 Propriété Si l’intégrale R I f (t)dt converge absolument, alors elle converge et : Z I f (t)dt É Z I |f (t)|dt 2.3.3 Application On peut utiliser sur |f | les critères de convergence pour uploads/Philosophie/ synthese-integrales-generalisees.pdf