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eduscol.education.fr/ - Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse -

eduscol.education.fr/ - Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse - Août 2019 1 Raisonnement et démonstration Mots clés Raisonnement – Démonstration, preuve – Compétences : raisonner, chercher, communiquer – Différenciation – Trace écrite Intentions majeures Au-delà de son intérêt majeur dans la formation des futurs scientifiques, le raisonnement mathématique est un axe important de la formation du citoyen. Il permet de comprendre ce qu’est une démarche de justification argumentée reposant sur la logique, de développer l’esprit critique, de former le futur citoyen à comprendre le monde et analyser l’information. Selon le rapport Villani-Torossian1 : « Il est important qu’un citoyen soit capable d’opérer une écoute active et critique face à un discours qui lui est tenu, que ce soit dans un cadre professionnel, politique, ou autre. Ainsi, se familiariser avec la démarche de la preuve mathématique est un moyen d’apprendre à décomposer un raisonnement en arguments, à déceler d’éventuelles failles ou erreurs, à ne pas confondre l’hypothèse et ses conséquences ou l’ordre logique qui s’y réfère, voire à déceler la substitution d’une causalité à une corrélation pour justifier un argument peu étayé scientifiquement. » Ce rapport réaffirme l’importance de la notion de preuve dans l’activité mathématique et recommande de redonner une place significative à la présentation de démonstrations de résultats du cours. Le programme de mathématiques de la seconde générale et technologique2 prend en compte cette recommandation : « Démontrer est une composante fondamentale de l’activité mathématique. Le programme identifie quelques démonstrations exemplaires, que les élèves découvrent selon des modalités variées : présentation par le professeur, élaboration par les élèves sous la direction du professeur, devoirs à la maison, etc. » 1https://cache.media.education.gouv.fr/file/Fevrier/19/0/Rapport_Villani_Torossian_21_mesures_pour_enseignement_des_mat hematiques_896190.pdf 2 https://cache.media.education.gouv.fr/file/SP1-MEN-22-1-2019/95/7/spe631_annexe_1062957.pdf eduscol.education.fr/ - Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse - Août 2019 2 Du collège à la seconde En classe de seconde, l’enseignement des mathématiques doit, en tenant compte de la diversité du public et de l’hétérogénéité des niveaux, viser trois objectifs :  poursuivre la formation du citoyen commencée dans le cadre du socle commun ;  assurer une solide formation aux futurs scientifiques sans décourager les autres ;  éclairer les élèves sur l’intérêt de faire des mathématiques en première pour servir un grand nombre de projets d’études. Le travail sur le raisonnement et la démonstration en seconde s’appuie sur celui effectué au cycle 4, tel qu’il est décrit dans le préambule du programme de mathématiques3 : « La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4. Le raisonnement, au cœur de l'activité mathématique, doit prendre appui sur des situations variées[…]. Le programme du cycle 4 permet d’initier l’élève à différents types de raisonnement, le raisonnement déductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde. La démonstration, forme d’argumentation propre aux mathématiques, vient compléter celles développées dans d’autres disciplines et contribue fortement à la formation de la personne et du citoyen (domaine 3 du socle).» Ce document prolonge des documents antérieurs, auxquels on pourra utilement se reporter :  ressources pour le cycle 4 (mars 2016) sur la compétence « Raisonner »4 ;  ressources pour le collège (juin 2009 et réédité en mars 2016) « Raisonnement et démonstration »5 ;  ressources pour la classe de seconde (juillet 2009) « Notations et raisonnement mathématiques »6. Bien que ces deux derniers aient été écrits pour des programmes antérieurs, ils conservent leur intérêt. Il est notamment intéressant de reprendre la distinction qu’on y trouve entre raisonnement et démonstration : le raisonnement est une forme de cheminement plus ou moins complexe pouvant comprendre recherche, découverte, conjecture, production d’une preuve peut-être partielle ; la démonstration est une forme de communication d’une preuve aboutie, qui repose sur des résultats acquis antérieurement et sur les règles de la logique. Cette distinction peut être analysée du point de vue des six compétences mathématiques7, et, plus précisément de trois d’entre elles : raisonner, chercher, communiquer. 3 https://cache.media.eduscol.education.fr/file/programmes_2018/20/4/Cycle_4_programme_consolide_1038204.pdf 4 https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Competences_travaillees/83/6/RA16_C4_MATH_raisonner_547836.pdf 5 https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/50/0/doc_acc_clg_raisonnementetdemonstration_223500.pdf 6 http://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/18/0/Doc_ressource_raisonnement_109180.pdf 7 https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Mathematiques/90/0/Competences_mathematiques_Lycee_282900.pdf eduscol.education.fr/ - Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse - Août 2019 3 Raisonner pour chercher, raisonner pour démontrer Dans une phase de recherche, le raisonnement inclut des formes heuristiques telles que l’essai-erreur, la recherche de conjectures par :  raisonnement inductif : conjecturer une proposition générale à partir de la vérification de cas particuliers ;  raisonnement abductif : sachant que A implique B et voulant démontrer B, on peut être amené à conjecturer A. Mentionnons aussi la preuve sur un exemple générique (démonstration sur un cas susceptible d’être adaptée au cas général), la « preuve sans mots » (justification sur une figure peu ou non commentée). Dans une phase de démonstration, on utilise le raisonnement déductif qui peut se présenter sous diverses formes : raisonnement par implication, par équivalence, par l’absurde, par disjonction de cas, etc. La mise en forme de la démonstration s’appuie sur les compétences « raisonner » et « communiquer ». Le raisonnement intervient ainsi dans ces activités diverses (chercher et conjecturer, affirmer et démontrer) dont la valeur et l’intérêt sont à mettre en évidence. Il importe aussi que l’élève apprenne à les distinguer clairement : une conjecture n’est pas un théorème, un raisonnement inductif n’est pas déductif, A implique B ne signifie pas B implique A, une hypothèse n’est pas une inclusion. Ainsi, l’élève doit être encouragé à chercher, à juger avec lucidité les résultats qu’il obtient, à reconnaître comme tel un argument incomplet, à éviter les affirmations non étayées. Clarifier et faire évoluer les pratiques En premier lieu, il est nécessaire de préparer le terrain avant d’aborder certaines démonstrations du programme. Cela demande d’abord de s’appuyer sur des approches heuristiques, de manipuler et de verbaliser avant d’abstraire, comme il est décliné dans le rapport Villani-Torossian. Cela requiert ensuite de susciter chez les élèves une motivation pour la preuve mathématique ; diverses approches peuvent construire et affermir cette motivation :  préparer le terrain en installant les prérequis voulus et en motivant la nécessité de prouver, de démontrer ;  proposer des trompe-l’œil (activités destinées à déjouer des intuitions erronées) afin de montrer les limites de l’intuition ou de la vision ;  trouver une accroche en posant un problème que les élèves ne savent pas résoudre avec les outils connus ;  poser des questions ouvertes, engendrer le doute et débattre autour de controverses ;  traiter des situations particulières pour motiver l’étude de cas généraux. Il importe également :  de préciser le contrat vis-à-vis des démonstrations du programme, qui n’ont pas vocation à être évaluées ; toutefois, les formes de raisonnement mises en jeu, après une certaine pratique, peuvent être mobilisées dans d’autres situations simples, en formation ou en évaluation ;  de proposer des scénarios variés prenant en compte la diversité des élèves et d’adapter les preuves à ceux ne maîtrisant pas les outils antérieurement étudiés, tels l’usage du calcul littéral ;  d’éviter d’encombrer de nouvelles démonstrations assez longues par d’autres antérieurement étudiées, que l’on peut alors considérer comme « évidentes » ;  d’éviter une technicité excessive, notamment dans l’usage du calcul littéral. eduscol.education.fr/ - Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse - Août 2019 4 Quelques pistes pour différencier Des démonstrations différentes Pour prendre en compte la diversité des publics et des fonctionnements intellectuels, il est profitable lorsque c’est possible d’envisager plusieurs démonstrations d’un même résultat. Cela peut être mis en pratique avec des raisonnements différents, en choisissant des registres variés (numérique, algébrique, géométrique, fonctionnel), en recourant à des outils logiciels diversifiés. L’élève peut alors se voir proposer de choisir celle des démonstrations qu’il notera dans son cahier de cours. Des démonstrations en plusieurs niveaux de détail Il peut être intéressant également de donner les démonstrations en plusieurs niveaux de détail :  niveau 1 : seulement le plan et les idées générales ;  niveau 2 : démontrer chaque étape du plan (avec un partage des tâches différencié au sein de la classe, suivi d’une mise en commun) ;  niveau 3 : démonstration complète, en évitant une longueur excessive. Là encore, l’élève, qui autoévalue sa propre aptitude de compréhension, peut choisir le niveau de détail pour la démonstration qu’il note dans son cahier de cours. Commencer une démonstration avec un exemple générique Une autre piste consiste à démontrer un résultat sur un exemple générique. Il s’agit d’un exemple numérique ou d’un cas particulier dont le traitement n’entache pas une démonstration générale, en ce sens que les outils mobilisés et les modes de raisonnement sont assez facilement transférables au cas général. Dans certains cas, on peut s’en tenir à cet exemple en précisant qu’on admet le cas général. Attendus pour tous Pour engager tous les élèves, on peut développer uniquement le niveau 1 d’une démonstration, en dégageant le plan et les idées générales. Pour évaluer les élèves les plus fragiles, il est possible de déroger au principe ci-avant évoqué en adoptant le « contrat de confiance », qui consiste à poser une démonstration choisie dans une courte liste préalablement étudiée. Approfondissements possibles Pour certains élèves, par exemple uploads/Philosophie/ lycee-gt-2-math-raisonnement-demonstration.pdf