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Logique, ensembles et applications. I Outils du raisonnement mathématique 1 I.A

Logique, ensembles et applications. I Outils du raisonnement mathématique 1 I.A Assertions et connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.A.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.A.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.A.3 Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . 3 I.B Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.C Modes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.C.1 Syllogisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.C.2 Disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.C.3 Démonstration par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.C.4 Démonstration par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . 6 I.C.5 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.C.6 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.C.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II Ensembles 7 II.A La notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.B Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.C Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 9 II.D Ensembles produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.E Structure algébrique des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 IIIApplications 13 III.AGénéralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III.B Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.B.1 Notion intuitive d’ensembles en bijection . . . . . . . . . . 14 III.B.2 Applications injectives et surjectives . . . . . . . . . . . . 16 III.C Compléments sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.C.1 Composée de deux applications et application réciproque 17 III.C.2 Prolongement et restriction d’une application . . . . . . . 19 I Outils du raisonnement mathématique I.A Assertions et connecteurs logiques I.A.1 Assertions Déﬁnition 1. Une assertion est un énoncé mathématique (ou propriété) à laquelle on attribue l’une des deux valeurs logiques : le vrai (V) ou le faux (F) (valeurs booléennes). Exemples 1. – "2 + 2 = 4" est une assertion vraie. – "2 + 2 = 5" est une assertion fausse. – "π est un nombre entier" est une assertion fausse. 1 Remarque 1. Pour certaines assertions, on peut décider du caractère vrai ou faux (par exemple, on peut décider que l’assertion x > 0 est vraie), mais cela provoque parfois des contradictions. Par exemple, l’assertion "toute règle admet une exception" ne peut pas être vraie. Les deux possibilités sont consignées dans une table de vérité : P V F I.A.2 Connecteurs logiques Il existe cinq connecteurs logiques, à la base de tout raisonnement mathéma- tique, dont nous allons faire la liste : • Négation (non) : À toute assertion P, on peut associer une autre assertion, appelée négation de P et notée (non P), qui prend les valeurs : – Vrai si P est faux. – Faux si P est vrai. P non P V F F V Par exemple, si P est : "l’entier n est pair", (non P) devient : "l’entier n est impair" • Disjonction (ou) : L’assertion (P ou Q) est vraie si l’une au moins des deux assertions P et Q est vraie. • Conjonction (et) : L’assertion (P et Q) est vraie si les deux assertions P et Q sont vraies. • Implication (⇒) : L’assertion (P ⇒Q) est vraie si l’assertion ((non P) ou Q) est vraie. • Équivalence (⇔) : L’assertion (P ⇔Q) est vraie si l’assertion ((P ⇒Q) et(Q ⇒P)) est vraie. Remarques 2. 1. Le "ou" mathématique n’est pas exclusif : si les assertions P et Q sont toutes les deux vraies, alors l’assertion (P ou Q) est vraie. 2. (P ⇒Q) signiﬁe (non P) est vraie ou (P est vraie et dans ce cas) Q est vraie. Cette assertion s’écrit donc aussi "Si P (vraie), alors Q (vraie)", ou encore "P est une condition suﬃsante pour Q", ou enﬁn "Q est une condition nécessaire pour P" 3. (P ⇔Q) s’écrit aussi "P si et seulement si Q", ou encore "P est une condition nécessaire et suﬃsante pour Q" On peut résumer les diﬀérentes valeurs logiques prises par ces connecteurs logiques en fonction des valeurs logiques de P et Q dans la table de vérité suivante : 2 P Q P et Q P ou Q P ⇒Q P ⇔Q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Remarques 3. 1. Si P et Q sont simultanément fausses, alors (P ⇒Q) est vraie. Par exemple ((1 > 2) ⇒(2 > 3)) est une assertion vraie. 2. P ⇒Q n’a pas même valeur logique que Q ⇒P. Par exemple, pour x ∈R, (x = 1 ⇒x > 0) est une assertion vraie, mais (x > 0 ⇒x = 1) est une assertion fausse. I.A.3 Propriétés des connecteurs logiques Proposition 1. On peut composer des connecteurs logiques : 1. Si (P ⇒Q) est vraie et si (Q ⇒R) est vraie, alors (P ⇒R) est vraie. 2. non(non P) a même valeur logique que P. 3. non(P et Q) a même valeur logique que (non P) ou(non Q) 4. non(P ou Q) a même valeur logique que (non P) et(non Q) 5. P et(Q ou R) a même valeur logique que (P et Q) ou(P et R) 6. P ou(Q et R) a même valeur logique que (P ou Q) et(P ou R) Démonstration. Toutes ces propriétés se retrouvent à l’aide de tables de vérité. Par exemple, nous allons démontrer 3) : P Q P et Q non(P et Q) non P non Q (non P) ou(non Q) V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V Ce tableau nous permet de constater que les valeurs logiques prises par la propriété non(P et Q) coïncident avec celles de la propriété (non P) ou(non Q). On pourra démontrer le reste de la même façon à titre d’exercice. Exercice 1. Montrer que l’assertion P ou(non P) est toujours vraie. Remarque 4. Il est essentiel de savoir formuler la négation d’une propriété P. En eﬀet comme les valeurs logiques de la propriété P et de la propriété non P sont inverses, il suﬃt de démontrer que non P est vraie pour établir que P est fausse. 3 Déﬁnition 2. Soit E un ensemble. Pour un élément x de E, on note P(x) une assertion dont la valeur logique dépend d’une variable notée x. P(x) est appelé un prédicat. Par exemple, pour E = R, le prédicat P(x) : ”x > 0” est vrai pour la valeur x = 1, et faux pour la valeur x = −1. I.B Quantiﬁcateurs Déﬁnition 3. 1. On déﬁnit le quantiﬁcateur universel, noté ∀(quelque soit) de la manière suivante : ∀x ∈E, P(x) signiﬁe que le prédicat P(x) est vrai pour toute valeur de x prise dans E, ou encore : {x ∈E/ P(x) est vrai } = E 2. On déﬁnit le quantiﬁcateur uploads/Philosophie/ logique-ensembles-applications.pdf