Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

ANNEE UNIVERSITAIRE 2017-2018 UE : 4TSI301U Epreuve : Techniques mathématiques

ANNEE UNIVERSITAIRE 2017-2018 UE : 4TSI301U Epreuve : Techniques mathématiques pour l’ingénieur, Examen Date : Mercredi 10 janvier 2018 Heure : 9 h 00 Durée : 1 h 30 Sans document Épreuve de C. Maneux, D. Jacquin, F . Marc, J.C. Razaﬁndrakoto 1 Diagrammes de Bode La ﬁgure 1 représente les allures des diagrammes de Bode (module et argument) associés à différentes fonctions de transfert du 1er ordre. 1) Schéma à l’appui, expliquer ce que représente une fonction de transfert. 2) Expliquer ce que représente un diagramme de bode. 3) Compléter la table 1 en faisant correspondre les numéros des diagrammes de l’annexe 1 avec les expressions complexes. Table 1 Module Argument j ω ω0 1 j ω ω0 1 + j ω ω0 j ω ω0 1 + j ω ω0 4) Sur la feuille de papier semi-logarithmique, représenter, dans le plan de Bode, la courbe asymptotique du module de : H(ω) = A1 + jωτ2 1 + jωτ1 (1) avec A = 0, 1 , τ1 = 10−4s et τ2 = 10−2s 2 Calcul de la puissance utile d’une hydrolienne Une hydrolienne doit être installée dans le courant d’un ﬂeuve, à une faible distance de l’embouchure. Des mesures de la vitesse V(t) du courant sur le site sont représentées par la courbe de la ﬁgure 2, mettant en évidence la superposition du courant de marée au courant du ﬂeuve. La puissance instantanée P(t) délivrée par l’hydrolienne dans un courant de vitesse V(t) est proportionnelle au cube de la valeur absolue de la vitesse. Pour une vitesse V(t) = Va = 4m/s, la puissance délivrée est Pa = 1MW. 1 1) Exprimez P(t) en fonction de V(t), Va et Pa. 2) Sur le graphe de la ﬁgure 2 (en annexe), représentez la puissance instantanée P(t) avec précision. On veut calculer la puissance moyenne Pm fournie par l’hydrolienne dans les conditions réelles d’utilisation. On rappelle que la puissance moyenne est reliée à la puissance instantanée par : Pm = 1 T T Z 0 P(t)dt (2) où T est la période de P(t). On se propose d’effectuer le calcul par deux méthodes : une méthode graphique, et une méthode analytique. Au préalable, on se propose de modéliser la vitesse en fonction du temps par l’équation suivante : V(t) = V0 + A cos(ωt + φ) (3) 3) A partir de la ﬁgure 2, donnez les valeurs expérimentales de T, V0, A,ω et φ. Méthode graphique 4) Indiquez sur le graphe de la ﬁgure 2 où se trouve l’intégrale de P(t) nécessaire au calcul de Pm. 5) A partir du graphe, donnez une estimation à 10 % de la puissance moyenne. On expli- citera tous les calculs intermédiaires. Méthode analytique 6) Calculez analytiquement la puissance moyenne Pm dans des conditions similaires à celles de la ﬁgure. 7) Quelle condition doit on vériﬁer pour que cette formule soit valide ? 8) En déduire la valeur numérique de Pm pour le cas de la ﬁgure 2. 9) Si la vitesse V0 de l’eau apportée par le ﬂeuve est ﬁxe, vaut-il mieux une grande ou une petite marée ?(justiﬁez) — FIN — Formulaire cos2 a = 1 2cos2a + 1 2 cos3 a = 1 4cos3a + 3 4 2 Annexe 1 Figure 1 – Diagrammes de Bode asymptotiques 3 Numéro d’anonymat : Annexe 2 -1 0 1 2 3 4 5 0 3 6 9 12 15 18 21 24 vitesse du courant (m/s) temps (heures) 0 0.5 1 0 3 6 9 12 15 18 21 24 Puisance (MW) temps (heures) Figure 2 – Vitesse et Puissance (à compléter) 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 ANNEE UNIVERSITAIRE 2017 / 2018 EXAMEN SEMESTRE D’AUTOMNE 4TSI301U - 4TSI306U Date : 10 Janvier 2018 Durée : 1h30 Documents : non autorisés Collège Sciences et technologies Toute réponse doit être justiﬁée. La qualité de la rédaction et la rigueur dans les raisonnements seront pris en compte lors de la correction. Exercice 1 [8 points - Diagonalisation] Soit A la matrice : A =   0 −2 −2 1 3 2 −1 −2 −1  . 1. [1 pt] Déterminer le polynôme caractéristique de A. 2. [1,5 pt] En déduire les valeurs propres de A ainsi que leur multiplicité. La matrice A est-elle inversible ? 3. [4 pt] Montrer que A est diagonalisable, puis déterminer deux matrices D et P, avec D diagonale et P inversible, telles que A = PDP −1. 4. [1,5 pt] Calculer P −1 et vériﬁer le résultat précédent par le calcul. Exercice 2 [7.5 points pts - Diagonalisation, Systèmes Diﬀérentiels] On considère les matrices : A =   12 −3 −10 12 −1 −12 9 −3 −7  , D =   −1 0 0 0 2 0 0 0 3  , P =   1 1 1 1 0 3 1 1 0  , Q =   −6 2 6 6 −2 −4 2 0 −2  . 1. [1 pt] Calculer PQ et QP. En déduire l’inverse de P. 2. [2 pts] Vériﬁer que PDP −1 = A. En déduire que A est diagonalisable, donner ses valeurs propres, ainsi qu’une base de R3 formée de vecteurs propres de A. 3. [3,5 pts] Déterminer l’ensemble des solutions du système diﬀérentiel ∀t ∈R      x′ 1(t) = 12x1(t) −3x2(t) −10x3(t) + et + e2t x′ 2(t) = 12x1(t) −1x2(t) −12x3(t) + et x′ 3(t) = 9x1(t) −3x2(t) −7x3(t) + et + e2t où x1, x2, x3 sont des applications de la variable t, dérivables sur R. 4. [1 pt] Déterminer la seule de ces solutions qui vériﬁe la condition initiale (x1(0), x2(0), x3(0)) = (1, 2, 1). Page 1/2 Exercice 3 [7.5 pts - Nombres Complexes, Diagonalisation] On considère C comme R-espace vectoriel : pour les questions 1,2 et 3, on a K = R. On rappelle que la base canonique de C est B = {1, i}. Ainsi, tout élément z = a + ib de C, avec a, b ∈R s’écrit (a, b) dans la base B. 1. [1 pt] Écrire les trois vecteurs suivants dans la base B : 1, i, reiθ, où r ∈R avec r > 0, et θ ∈R (Indication : on rappelle que eiθ = cos(θ) + i sin(θ)). 2. Soit α ∈[0, 2π[. On considère l’application φα déﬁnie par : φα : C → C z 7→ eiαz . (a) [0.5 pt] Vériﬁer que φα est une application R-linéaire. (b) [0.5 pt] Déterminer la matrice A de φα dans B. (c) [1.5 pt] Calculer le polynôme caractéristique de A. Pour quelles valeurs de α la matrice A est-elle diagonalisable ? 3. Soit α ∈[0, 2π[. On considère l’application ψα déﬁnie par : ψα : C → C z 7→ eiα¯ z . (a) [0.5 pt] Vériﬁer que ψα est une application R-linéaire. (b) [0.5 pt] Montrer que la matrice B de ψα dans B est cos(α) sin(α) sin(α) −cos(α) . (c) [1 pt] Calculer le polynôme caractéristique de B. Pourquoi B est-elle toujours diagonalisable ? (d) [1 pt] Déterminer une base de vecteurs propres de ψα (Indication : on pourra chercher les vecteurs propres de la forme eiθ). 4. [1 pt] Supposons cette fois K = C. Est-ce que φ et ψ sont C-linéaires ? Page 2/2 ANNEE UNIVERSITAIRE 2017 / 2018 session 2 SEMESTRE D'AUTOMNE PARCOURS / ETAPE: L2 Code UE : 4TSI301U , 4TSI306U Epreuve de Mathématiques Date : Juin 2018 Heure:: Durée : 1h30 Documents non autorisés Calculatrice autorisée Epreuve de Pierre Monplaisir Collège Sciences et technologies La rédaction de votre copie sera un élément décisif dans son appréciation . FIN 13 11h30 1/5 ANNEE UNIVERSITAIRE 2017 / 2018 SESSION 1 D’AUTOMNE PARCOURS / ETAPE : SI300 Code UE : 4TSI303ETL Epreuve : Dynamique des Systèmes Linéaires Date : 21/12/2017 Heure : 11h30 Durée : 1h30 Documents : non autorisés Epreuve de M : Xavier MOREAU Collège Sciences et technologies ETUDE DE LA DYNAMIQUE D’UN PENDULE 1 - Introduction : analyse du fonctionnement La machine d’essais au choc qui fait l’objet de cette étude est le mouton pendulaire de Charpy (figure 1). Le pendule est constitué par une masse M en acier forgé qui peut osciller autour d’un axe O. La masse pendulaire a la forme d’un disque présentant une entaille biseautée appelée couteau. L’éprouvette testée se place sur le bâti de façon que le plan d’oscillation coïncide avec son plan axial. Le pendule est remonté d’une hauteur H, puis lâché. Il passe entre les jambes du bâti, brise l’éprouvette et remonte jusqu’en G’ à une hauteur H’ (figure 1). Au moment où le couteau entre en contact avec l’éprouvette, l’énergie cinétique disponible est égale à l’énergie potentielle initiale, soit Mg H. Une partie de cette énergie est absorbée uploads/Philosophie/ meca-s3-2017-2018.pdf