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La m´ ethode des indivisibles au XVIIe si` ecle La m´ ethode des indivisibles a

La m´ ethode des indivisibles au XVIIe si` ecle La m´ ethode des indivisibles au XVIIe si` ecle Marine Bedon et Gautier Marti Table des mati` eres 1 La m´ ethode des indivisibles dans l’histoire : naissance, d´ eploiement et post´ erit´ e 2 1.1 De la m´ ethode d’exhaustion d’Archim` ede aux d´ ebuts de la m´ ethode des indivisibles de Kepler . . 2 1.1.1 Archim` ede et Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 D’Archim` ede ` a Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Le d´ eveloppement au XVIIe si` ecle par Cavalieri et Roberval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Gilles Personne de Roberval (1602-1675) et Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) 4 1.2.2 Deux m´ ethodes diﬀ´ erentes ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Pr´ emices du calcul inﬁnit´ esimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Transformation de la m´ ethode des indivisibles au ﬁl des ann´ ees . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 L’utilisation de la tangente pour approximer : naissance de l’int´ egrale curviligne . . . . . 8 1.3.3 Changement de variable, int´ egration double et triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Int´ egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Utilisation de la m´ ethode par Roberval 11 2.1 De la pr´ esentation qu’en fait Roberval dans son Trait´ e des Indivisibles . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 De la proportion de la circonf´ erence du cercle ` a son diam` etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 De la ﬁgure courbe ´ egale au quarr´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 De l’aire de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 La controverse 19 3.1 Vers l’inﬁni et au-del` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1 Aristote, Platon, et la querelle sur l’inﬁni et les lignes ins´ ecables . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Des origines des critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.1 Les paradoxes de l’inﬁni : Z´ enon d’El´ ee (-480, -420) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.2 Les scolastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Le chant du cygne des indivisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Marine Bedon et Gautier Marti 1 La m´ ethode des indivisibles au XVIIe si` ecle 1 La m´ ethode des indivisibles dans l’histoire : naissance, d´ eploie- ment et post´ erit´ e 1.1 De la m´ ethode d’exhaustion d’Archim` ede aux d´ ebuts de la m´ ethode des in- divisibles de Kepler La m´ ethode des indivisibles ne naˆ ıt pas ex nihilo au XVIIe si` ecle. Elle est, comme la plupart des d´ ecouvertes math´ ematiques, le r´ esultat d’une longue maturation, qui a connu ses pr´ emices dans l’Antiquit´ e grecque. En eﬀet, Euclide et Archim` ede sont souvent d´ esign´ es comme, si ce n’est les fondateurs, du moins les pr´ ecurseurs, de la m´ ethode des indivisibles, et, plus encore, du calcul inﬁnit´ esimal. Alors que dans l’Antiquit´ e grecque on emploie le terme d’inﬁni non sans frilosit´ e, comment ces deux grands math´ ematiciens peuvent-ils avoir inaugur´ e une m´ ethode reposant sur un usage permanent et d´ ecomplex´ e de ce terme ? 1.1.1 Archim` ede et Euclide Euclide (-325, -265), tout d’abord, a approch´ e des id´ ees qui seront reprises d` es la Renaissance avec sa th´ eorie du continu et sa th´ eorie des grandeurs. Dans ses ´ El´ ements (-300), il montre que la continuit´ e d’une grandeur g´ eom´ etrique ne peut ´ evidemment pas ˆ etre ´ epuis´ ee par les nombres, c’est-` a-dire par les entiers, ni mˆ eme par l’ajout des fractions. C’est alors ` a cette ´ epoque qu’apparaissent les irrationnels, et leur prise en compte par la raison math´ ematicienne donne de nouveaux rep` eres arithm´ etiques sur la droite g´ eom´ etrique. Ainsi, Euclide avance dans ce contexte sa th´ eorie sur la continuit´ e : une grandeur a peut toujours ˆ etre consid´ er´ ee comme le multiple d’une unit´ e ϵ, ce qui revient ` a dire que les nombres ne sont pas des entit´ es ﬁxes, mais des rep` eres ind´ eﬁniment variables seulement d´ eﬁnis par leurs rapports entre eux. Cette consid´ eration que met au jour Euclide sera tr` es importante dans la m´ ethode des indivisibles, o` u il s’agira toujours d’´ evaluer des rapports de grandeurs. D` es lors, mettre deux grandeurs en rapport, c’est dire que chacune d’elle peut ˆ etre multipli´ ee par une autre grandeur qui lui permette ainsi de surpasser la premi` ere avec laquelle elle est en rapport. Cela se note donc : si a < b, il est toujours possible que ma > b. C’est ce qu’on a, par ailleurs, appel´ e axiome d’Archim` ede. Cette extension implicite de la notion de nombre, mais par le biais de la g´ eom´ etrie, est assur´ ee par un crit` ere d’incommensurabilit´ e, interne ` a l’ensemble des grandeurs. Pr´ ecisons que deux quantit´ es sont incommensurables si, quelle que soit la diﬀ´ erence entre la plus grande et un multiple de la plus petite, elle n’´ egale jamais la diﬀ´ erence qui la pr´ ec` ede. Plus encore, pour Euclide, il existe une inﬁnit´ e de nombres premiers. Il prenait l’exemple d’une d´ eﬁnition de δϵ comme le plus grand des nombres premiers, suivie d’une d´ emonstration que δϵ n’existe pas car il existe un nombre premier plus grand encore. Dans ses ´ El´ ements, il d´ emontre que de trois nombres premiers distincts peut se d´ eduire un quatri` eme. La d´ emonstration se g´ en´ eralise imm´ ediatement ` a toute ´ enum´ eration ﬁnie de nombres premiers. Il d´ eduit alors que les nombres premiers sont en nombre plus important que toute quantit´ e ﬁnie. L’inﬁni mis en ´ evidence par cette preuve est n´ eanmoins un « inﬁni potentiel », et pas un inﬁni manipulable dans toutes les d´ emonstrations comme le feront les math´ ematiciens du XVIIe avec la m´ ethode des indivisibles ou plus tard avec le calcul inﬁnit´ esimal. Mais la plus grande contribution aujourd’hui attest´ ee fut celle d’Archim` ede (-287, -212). uploads/Philosophie/ memoir.pdf