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Modélisation et Simulation par Dr. Youssef Benabbassi, univ-Bechar, Algérie 1 R

Modélisation et Simulation par Dr. Youssef Benabbassi, univ-Bechar, Algérie 1 République Algérienne Démocratique et Populaire Université Tahri Mohammed, Béchar, Algerie Faculté des Sciences Exactes Département Mathématiques et Informatique Modélisation et Simulation MS Dr. Youssef Benabbassi Novembre 2020 Modélisation et Simulation par Dr. Youssef Benabbassi, univ-Bechar, Algérie 2 Introduction La modélisation est une phase incontournable dans le processus de l’élaboration d’un système. La présente matière intitulée Modélisation et Simulation est destinée aux étudiants en Master en Informatique. Elle a pour objectif principal d’approfondir les connaissances de l’étudiant dans ce domaine et de fournir un ensemble de techniques d’évaluation des performances de système. Les modèles et les simulations peuvent être utilisés pour la prédiction, l'exploration, l’entraînement ainsi que pour la préparation et la planification. Ce document traite les notions suivantes : Modélisation des systèmes, techniques d’évaluations des performances, simulation, et outils de la simulation. Une fiche de travaux pratiques est jointe en annexe. I. Modélisation des systèmes I.1 Définitions I.1.1 Définition de modélisation  La modélisation est une activité qui vise à élaborer des modèles, c'est-à-dire à transcrire des données d'observations et à décrire des processus dans un langage approprié et formalisé.  Modéliser c’est abstraire de la réalité une description d’un système dynamique. La modélisation consiste à mettre au point un ensemble d'équations ou de règles pour décrire un phénomène de façon reproductible et simulable.  La modélisation est une démarche destinée à analyser, et éventuellement prédire des phénomènes, même en l’absence de la théorie explicative. Cette modélisation est en général destinée à être exploitée par une simulation informatique. I.1.2 Définition de système Tout objet sujet d’une étude est dit un système. Un système est caractérisé par le fait que l’on sait distinguer ce qui lui appartient de ce qui ne lui appartient pas. Fig I.1 Système physique en boucle ouverte Le système est supposé contrôlable et/ou observable. Fig I.2 Système physique en boucle fermée Modélisation et Simulation par Dr. Youssef Benabbassi, univ-Bechar, Algérie 3 Des variables, générées par l’environnement, agissent sur le comportement du système qui, à son tour, réagit sur cet environnement. I.1.3 Définition de modèle  Un modèle correspond à l'expression sous une forme logique ou mathématique des propriétés que devrait présenter un certain type de données, si ces données se conformaient exactement à une certaine hypothèse ou théorie que le modèle formalise.  Schématiquement le modèle est une boîte noire qui fournit des valeurs de sortie en fonction de valeurs d'entrée. Le modèle issu de la modélisation sert à prédire le comportement d'un système en fonction de sollicitations connues. Le modèle sert à définir un jeu de paramètres optimum pour obtenir des valeurs de sorties souhaitées en fonction de valeurs d'entrée données.  Un modèle « M » d’un système « S » pour une expérimentation « E » est toute chose à laquelle on peut appliquer une expérimentation « E » pour répondre à des questions concernant le système « S ». I.2 Types de systèmes Selon la notion du temps :  système à temps continu : le temps est spécifié comme évoluant de manière continue, le temps est un nombre réel ;  système à temps discret : le temps avance par sauts d’une valeur entière à une autre, le temps est un entier.  On passe du continu au discret grâce à la technique d’échantillonnage. Selon variables d’états :  système à états discrets : les variables prennent leurs valeurs dans un ensemble discret;  système continu : les variables descriptives sont des nombres réels. Selon son comportement :  système déterministe : pour une même entrée il y aurait une même sortie quelque soit le temps.  système aléatoire : pour une même entrée il n’y aurait pas forcément la même sortie avec l’évolution du temps. Selon son évolution:  système en régime transitoire/ stationnaire Un système dynamique est dit à l’état stationnaire ou en régime stationnaire si les variables le décrivant ne varient pas avec le temps. Sinon il est dit en régime transitoire. Selon la linéarité :  système linéaire/ système non-linéaire Un système linéaire est un objet du monde matériel qui peut être décrit par des équations linéaires (notamment équations linéaires différentielles), ou encore qui obéit au principe de la superposition et au principe de la proportionnalité. Sinon, il est dit un système non linéaire. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que Modélisation et Simulation par Dr. Youssef Benabbassi, univ-Bechar, Algérie 4 les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (quand c'est possible) un système non linéaire autour d'un point d'équilibre ou d'une trajectoire. Selon sa frontière :  Système ouvert/fermé/isolé Un système est dit ouvert s'il permet des échanges d'énergie et de matière avec le milieu extérieur. Il est dit fermé s'il peut échanger de l'énergie mais pas de matière. Enfin, il est isolé s'il ne peut échanger ni matière, ni énergie avec l'extérieur. I.3 Types de modèles Le modèle d’un système est une représentation abstraite qui peut être utilisée pour analyser, comprendre, étudier et prévoir le comportement de ce système. Un modèle est exploité par des simulations. Il y a plusieurs types de modèles, caractérisés par leurs aspects, leurs méthodes de création et leurs méthodes de formulation. Classification de types de modèles :  Selon l’aspect :  Modèle prédictif : on cherche à prédire une situation ou un état du système.  Modèle descriptif : on capitalise la connaissance au sein d’un modèle.  Selon les méthodes de création :  Modèles théoriques : basées sur des lois, des concepts, des hypothèses. Par exemple un modèle économique peut être basé sur l’hypothèse que les agent humains sont parfaitement rationnels et prennent les meilleures décisions.  Modèles empiriques : basées sur l’observation des systèmes, des analyses statistiques.  Modèles mixtes: combinant les deux démarches théoriques et empiriques dont les frontières sont souvent floues. Cependant les modèles ont généralement une approche dominante.  Selon les méthodes de formulation :  Modèles mathématiques : souvent au moyen d’équations différentielles résultant d’une théorie.  Modèles algorithmiques: un ensemble de relations logiques entre les composants d’un système (les agents) complétés par des mécanismes de récurrence temporelle.  Modèles visuelles : par exemple un graphe des relations entre les composants ou agents d’un système.  Modèles matérielles : par exemple une carte, une maquette ou un modèle réduit. I.4 Outils de modélisation La phase de la modélisation nécessite un choix d’outil de modélisation approprié, on cite comme outil de modélisation:  Fonction de transfert  Machine d’états finis Modélisation et Simulation par Dr. Youssef Benabbassi, univ-Bechar, Algérie 5  Réseau de Petri  Chaîne de Markov  Modèles de files d’attente I.4.1 Fonction de transfert I.4.1.1 Définition Une fonction de transfert « H » est un modèle mathématique de la relation entre l’entrée « U » et la sortie « Y » d’un système linéaire, le plus souvent invariant. L’expression de la fonction de transfert est comme suit : Dans les systèmes linéaires continus et invariants, on fait appel à la transformée de Laplace pour définir la fonction de transfert. I.4.1.2 Transformée de Laplace La transformée de Laplace est très utilisée par les ingénieurs pour résoudre des équations différentielles et de déterminer la fonction de transfert d’un système linéaire. L’expression de la transformée de Laplace appliquée sur une fonction linéaire continue « f » est donnée comme suit : Parmi les avantages de l’utilisation de la transformée de Laplace :  Passage d’une équation différentielle difficile à manipuler vers une expression algébrique simple à manipuler.  Obtention d’une fonction de transfert I.4.1.3 Schémas blocs  En série : Fig I.3 Blocs en séries  En parallèle : Fig I.4 Blocs G et N en parallèles  Point de jonction : Fig I.5 Point de jonction entre M et H Modélisation et Simulation par Dr. Youssef Benabbassi, univ-Bechar, Algérie 6 Exemple de schéma bloc composé: Fig I.6 Schéma blocs composé  Boucle fermée: Fig I.7 Schéma en boucle fermée I.4.2 Machines d’états finis I.4.2.1 Généralités Les automates finis « automates finis à états » offrent un formalisme de description peu puissant mais avec beaucoup d’algorithmes efficaces. Ils sont très utilisés notamment dans deux domaines : le traitement de chaînes de caractères et la description de comportement dynamique de systèmes. Un automate fini est un graphe orienté dont les arcs sont étiquetés par des symboles. Voir la figure suivante : Fig I.8 Automate d’états finis La notation du graphe met en évidence deux types de nouds particuliers, on note :  D’une part l’´etat initial, qui est caractérisé par une flèche entrante venant de nulle part et sans étiquette (ici l’´etat 0).  D’autre part les états finals, identifiés par un double cercle (ici les états 5 et 8).  Il y a toujours exactement un état initial, alors qu’il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs états finals.  Les nouds du graphe sont appelés états et les arcs sont appelés des transitions.  Dans un tel graphe, on s’intéresse aux chemins qui vont de l’état initial à un état final.  uploads/Philosophie/ modelisation-et-simulation.pdf