Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Page d’informations sur le document Titre : LES PROBABILITÉS Type de document :

Page d’informations sur le document Titre : LES PROBABILITÉS Type de document : Analyse conceptuelle Auteurs : BEAULIEU, Véronique ; CORMIER, Louis ; MORRISSEAU, Marc-André ; TREMBLAY, Karl-Philippe Date de production : 24 avril 2013 Numéro d’identification : a-076 Pour le cours : Séminaire de synthèse (ESM6150), UQAM 1re édition électronique : 24 avril 2013 Publié sur le site du LDM - Laboratoire de didactique des mathématiques. Département de mathématiques, UQAM Information : Le titulaire des droits autorise l’exploitation de l’œuvre, ainsi que la création d’œuvres dérivées, à condition de respecter toutes les conditions suivantes : 1. qu’il ne s’agisse pas d’une utilisation commerciale (les utilisations commerciales restant soumises à son autorisation) ; 2. qu’elles soient distribuées avec les mêmes conditions que l’œuvre originale ; 3. et que les modifications à l’œuvre originale soient explicitement être mentionnées dans les œuvres dérivées. BY NC SA (Paternité + pas d’utilisation commerciale + partage dans les mêmes conditions) 1 ANALYSE CONCEPTUELLE SUR LES PROBABILITÉS Travail présenté à Monsieur Michel Coupal Dans le cadre du cours ESM-6150 Séminaire de synthèse Session 8 année 4 Par BEAULIEU, Véronique CORMIER, Louis MORRISSEAU, Marc-André TREMBLAY, Karl-Philippe Baccalauréat en Enseignement Secondaire Concentration Mathématiques 2013, avril, 24 2 TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 1. Historique des probabilités 1.1 Réseau de concept sur l’espérance mathématique 1.2 Applications des probabilités 2. Introduction aux probabilités 2.1 Les préalables 3. Les probabilités (1er cycle) 3.1 Les raisonnements importants 3.1.1. Expérience aléatoire 3.1.2. Événement 3.1.3. Le dénombrement des résultats d’une expérience aléatoire 3.1.4. Calcul de la probabilité d’un événement 3.1.5. Types d’événements 3.1.6. Types de probabilités 3.2. Expériences aléatoires à plusieurs étapes avec remise ou sans remise 3.2.1. Expérience aléatoire avec remise 3.2.2. Expérience aléatoire sans remise 3.3. Expériences aléatoires avec ordre ou sans ordre 3.4 Difficultés, erreurs et conceptions 4. Les probabilités (2e cycle) 4.1. Reconnaître le type de variables aléatoires: discrète ou continue 4.2. Probabilités géométriques 4.2.1. Probabilités géométriques en une dimension 4.2.2. Probabilités géométriques en deux dimensions 4.2.3. Probabilités géométriques en trois dimensions 4.3. La notation factorielle 4.4. Espérance mathématique 5. BIBLIOGRAPHIE 5.1. Publications gouvernementales 5.2. Sites internet 5.3. Articles 3 LES PROBABILITÉS 1. Historique des probabilités La première apparition du mot probabilité remonte aux écrits d’Aristote. Le mot portait à ce moment, une toute autre signification. Il s’agissait en fait d’une idée qui est communément admise par tous (on parlera ensuite du principe d’évidence). Le mot garda cette signification durant la majeure partie du Moyen-âge et même de la Renaissance. C’est avec les travaux de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et de Christian Huygens, au XVII siècle que le mot probabilité prend sons sens actuel. Bien qu’on attribue à Pascal et à de Fermat le titre de fondateur du traitement des probabilités, ces derniers n’ont rien publiés de leur travaux. Il s’agit en fait d’Huygens qui publia le premier ouvrage sur le sujet (fortement encouragé par Pascal). C’est autour des jeux de hasard que Pascal et de Fermat ont établis les bases du traitement mathématique des probabilités, selon les correspondances entre les deux. Pour de plus ample information sur l’histoire des probabilités, veuillez consulter la page Wiki suivante: http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9#Histoire. Table des matières 4 1.1 Réseau de concept sur l’espérance mathématique Voici un réseau de concept intéressant sur l’évolution du concept d’équité, et d’espérance mathématique, sujet important des probabilités. Table des matières 5 1.2 Applications des probabilités De nos jours, les probabilités son utilisées dans plusieurs domaines. Tout d’abord, on peut penser aux chaînes de Markvo qui sont utilisées pour l’indexation des sites internet par Google. De plus, l estimation optimale par usage de la loi de Baye sert de fondement à une grande partie des applications de décision automatique (imagerie médicale, astronomie, reconnaissance de caractères, filtres anti-pourriel etc.) Enfin, les mathématiques financières font un large usage de la théorie des probabilités pour l'étude des cours de la bourse et des produits dérivés 2. Introduction aux probabilités 2.1 Les préalables Dès le primaire, l’élève débute la construction de ses connaissances sur les probabilités. En effet, il a déjà fait des expériences par rapport au concept de hasard. Il est en mesure de prédire des résultats par l’apprentissage des concepts de résultat certain, résultat possible, résultat impossible, d’événement plus probable, d’événement également probable et d’événement moins probable qu’il a appris au primaire. De plus, il sait également comment dénombrer des résultats d’une expérience aléatoire à l’aide de tableaux et de diagrammes en arbre. Enfin, il a débuté son analyse de ces tableaux et diagrammes en arbre en les comparant avec des résultats théoriques connus1. Avant de débuter le programme des probabilités du 1er cycle du secondaire, l’élève doit savoir qu’une fraction s’écrit sous la forme a b, il doit être en mesure de transformer un nombre fractionnaire en une fraction et de transformer une fraction en un nombre fractionnaire. De plus, il doit savoir que deux fractions sont équivalentes si elles représentent le même nombre. Il doit également être capable d’obtenir des fractions équivalentes en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre (différent de 0.) L’élève doit aussi savoir qu’une fraction dont le dénominateur est 100 est un pourcentage. Enfin, il doit savoir qu’une fraction est irréductible si leur plus grand commun diviseur est 1. 1 QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION DES LOISIRS ET DES SPORTS. Un programme de formation pour le XXIe siècle ; Programme de formation de l’école québécoise, Enseignement secondaire, deuxième cycle, Québec, Publications du Québec, 2007, p.51. Table des matières 6 3. Les probabilités (1er cycle) 3.1 Les raisonnements importants Les probabilités sont peu exploitées au secondaire. Généralement, les enseignants les abordent vers la fin de l’année et ils ne les décortiquent pas. Ils passent rapidement sur ces concepts. Afin, d’amener davantage d’importance aux probabilités dans le cursus scolaire, il est primordial de bien saisir l’entièreté des concepts reliés aux probabilités et la richesse qu’il est possible d’aller y chercher. L’étude des probabilités est une occasion qui permettra à l’enseignant de dynamiser ses leçons. En effet, il pourra ainsi user de son imagination afin de créer des expériences, des situations de jeux, d’utiliser des diagrammes et des graphiques. Il est également possible de simuler automatiquement des expériences aléatoires à l’aide de certains outils technologiques tels que les calculatrices à affichage graphique, Excel, GeoGebra pour non seulement susciter l’intérêt des élèves mais également pour amener les élèves à bien saisir les phénomènes aléatoires. 3.1.1. Expérience aléatoire Pour débuter l’apprentissage des probabilités, l’utilisation d’une situation ou d’une expérience concrète, facile d’accès est intéressante puisqu’elle met directement l’élève en action et il peut ainsi se créer une image mentale de ce concept relativement très abstrait. Nous croyons que l’expérimentation permet de développer la pensée probabiliste de l’élève. L’enseignant pourrait choisir par exemple, une situation très commune et facilement réalisable en classe tel que le lancer de dé. En équipe, l’élève lance un dé à six faces, observe et note les résultats obtenus. Ce type d’activité met l’élève au centre de ses apprentissages et permet à l’enseignant d’introduire qu’une expérience aléatoire est une situation qui relève uniquement du hasard (qu’on ne peut prédire avec exactitude le résultat de l’expérience.) Ensuite, il amène les élèves à énumérer tous les résultats qu’il est possible d’obtenir en lançant un dé. Ce questionnement permet d’introduire qu’en probabilité, l’énumération de tous les résultats possibles d’une expérience s’appelle l’univers des résultats possibles, que cet ensemble est noté par le symbole suivant : (oméga), que l’univers des résultats possibles est toujours écrit entre accolades et que les résultats sont séparés par des virgules. L’univers des résultats possibles de la situation qui revient à «Lancer un dé à six faces» est : = {1,2,3,4,5,6} Table des matières 7 En ajoutant des contraintes à l’activité, l’enseignant pourra alors spécifier que certaines expériences aléatoires peuvent nécessiter une seule étape ou plusieurs étapes. En effet, si l’élève lance un dé à six faces une fois et qu’il note le résultat, on dira qu’il s’agit d’une expérience aléatoire à une seule étape. Mais si on lui demande par exemple de lancer une pièce de monnaie deux fois et de noter le résultat, on dira qu’il s’agit d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes. 3.1.2. Événement Une fois que le concept d’expérience aléatoire est bien compris par les élèves, nous croyons que l’enseignant se doit d’expliquer ce qu’est un événement. Il doit bien verbaliser qu’il s’agit d’un sous-ensemble constitué de résultats de l’univers des résultats possibles. Il peut donner quelques exemples : ● «Obtenir un nombre impair en lançant un dé à six faces» est un événement. L’univers des résultats possibles est : = {1,3,5} ● «Obtenir pile en lançant une pièce de monnaie» est appelé un événement élémentaire puisqu’il contient un seul résultat de l’univers des résultats possibles. En effet, l’univers des résultats possibles est : = {Pile} Comprendre ce qu’est une expérience aléatoire et un événement permet d’amener l’élève à dénombrer tous les résultats possibles et mène ensuite au raisonnement central des probabilités soit le calcul des probabilités d’un événement. 3.1.3. Le dénombrement des résultats d’une uploads/Philosophie/ a-076-probabilites.pdf