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1 Mécanique des solides déformables Khamlichi Abdellatif Chapitre 1 Introductio

1 Mécanique des solides déformables Khamlichi Abdellatif Chapitre 1 Introduction à la mécanique des solides déformables Filière Génie Civil 2 Plan • Généralités • Positionnement de la MMC au sein de la mécanique • Hypothèses principales de la MMC • Typologie des milieux continus • Applications de la MMC • Esprit du cours 3 1 Généralités La mécanique des solides déformables (MSD) est une branche de la mécanique des milieux continus (MMC). La MMC constitue le dénominateur commun entre la MSD et la mécanique des fluides, mais aussi la mécanique des sols,... Dans la suite du cours, on introduira les concepts et hypothèses de base de la MMC avant d’introduire des hypothèses complémentaires (de comportement essentiellement) spécifiques à la MSD. 4 1 Généralités Mécanique: branche de la physique qui décrit les mouvements et les équilibres (statique ou dynamique) d’un système. Milieu: domaine matériel sans précision du matériau afin de construire une théorie abstraite (idéalisation) qui est la plus générale possible. La théorie ne rend pas compte a priori de la réalité physique, c’est en se spécialisant en différentes branches grâce à l’apport expérimental qu’elle permet de traiter les différents types de matériaux en jeu. Continu: La notion de continuité est intimement liée à celle d’échelle. La théorie abstraite sera appliquée au monde physique sachant que tous les matériaux réels sont discontinus à petite échelle (molécules, cristaux, grains de sables, etc.). Un matériau réel sera supposé comme étant continu lorsqu’on considère une échelle suffisamment adaptée (une particule contient un grand nombre de molécules ou de grains). 5 1 Généralités D’une manière générale, la MMC est une construction mathématique. On dira qu’il s’agit d’une modélisation de la réalité. C’est une représentation abstraite du monde physique qui repose sur des hypothèses qui sont plus ou moins vraies selon les applications. Comme toujours dans les sciences physiques, le critère royal pour déterminer si la théorie est valide dans un cas donné est l’expérimentation. 6 2 Positionnement de la MMC au sein de la mécanique La mécanique du point permet de déterminer la position, la vitesse et l’accélération d’un « point matériel », c'est-à-dire d’un objet mathématique sans « forme » ni « volume », mais muni d’une masse et soumis à des forces. C’est la théorie utilisée par exemple pour étudier le mouvement d’une planète sur son orbite. (vecteur) La mécanique du solide indéformable reprend les ingrédients de la mécanique du point, mais ajoute au système d’étude une « forme », et donc un volume et une distribution spatiale de la masse. Cette mécanique introduit les notions de rotation, d’inertie, et de moment. Elle s’applique par exemple très bien à l’étude des systèmes articulés ou à l'étude micromécanique du sable. (torseur) L’apport essentiel de la MMC est d’introduire la possibilité pour le système de se déformer. Ceci complique énormément la théorie, et exige de recourir à des outils mathématiques beaucoup plus sophistiqués que pour les deux premières mécaniques. (tenseur) 7 3 Hypothèses principales de la MMC La MMC est une mécanique dite « classique », ce qui signifie que : - l’échelle du problème est très grande devant la taille des particules élémentaires. La MMC n’est donc pas quantique. - la vitesse de la matière est très faible devant celle de la lumière. La MMC n’est donc pas relativiste. L’hypothèse principale de la MMC est l’hypothèse de continuité. Elle stipule que les propriétés de la matière (densité, propriété mécaniques, etc.) sont continues. Ceci implique qu’elles peuvent êtres décrites par des objets mathématiques continus et dérivables autant de fois que l’on veut (au moins par morceaux). On nommera ces objets des champs, et ils dépendront à la fois de l’espace et du temps. 8 3 Hypothèses principales de la MMC La MMC, appliquée au monde réel, s’intéressera à des moyennes locales. Il est impossible de déterminer le mouvement de chacune des particules élémentaires constituant un système physique ( 1 mm3 d’air ambiant comporte environ 1018 molécules). En revanche en s’intéressant à un volume suffisamment grand, le milieu peut être considéré comme continu. A titre d’exemple, la pression exercée par un fluide sur une paroi solide est due à une multitude d’impact de molécules du fluide sur le solide, et elle sera représentée par un scalaire (qui sera l’effet mécanique moyen de ces impacts sur un petit intervalle de temps et sur une petite surface du solide). En plus de la continuité, d’autres hypothèses seront introduites dans la suite au sein de la théorie (postulat de Cauchy, hypothèses des petites perturbations, etc.). 9 4 Typologie des milieux continus La matière dans le monde physique est considérée d’habitude comme étant dans l’un des trois états: solide, liquide, gazeux. Ces trois états peuvent vérifier, sous diverses conditions, l’hypothèse de continuité. Du fait que dans la réalité les frontières entre les trois états classiques de la matière sont assez floues, on peut proposer un grand nombre d’états intermédiaires: pâteux, mou, épais, plastique, visqueux, etc. La MMC se place au dessus de ces considérations. Dans un premier temps, on va donc mettre de côté toute notion de « consistance », et proposer une modélisation mathématique de la déformation d’un milieu qui ignore complètement cette notion. Ce n’est que dans un deuxième temps que l’on introduira le concept de modèle de comportement, et que l’on imaginera des modèles mathématiques (fondés sur l’expérience et/ou sur des considérations physiques) propres à chaque application dans le monde physique. 10 5 Applications de la MMC La MMC est absolument omniprésente dans l’ingénierie. L’immense majorité des ingénieurs s’en servent par l’intermédiaire de logiciels de calcul numérique (dit aussi calcul scientifique). Parmi les applications les plus évidentes, on peut citer: - Les procédés industriels (emboutissage, usinage), l’industrie mécanique (automobile, machines-outils, aéronautique), les matériaux composites,... - Les structures de génie civil, bâtiments, ponts, barrages, routes, en béton, acier, bois, aluminium, ... - La mécanique des fluides, l’aérodynamique, les écoulements en canaux et conduites, les écoulements fluviaux et souterrains, ... - La géophysique, la mécanique des sols, la mécanique des roches, ... 11 5 Applications de la MMC La MMC est l’un des langages communs à plusieurs disciplines d’ingénierie. Dans les premières parties de sa formulation, elle a le statut de science. Au cours de ses diverses applications, elle est ensuite déclinée en très nombreuses techniques d’ingénierie propres à chaque discipline: mécanique des solides déformables (MSD), mécanique des fluides,... Pour l’ingénieur génie civil, la MMC intervient directement ou indirectement lorsqu’on doit répondre par exemple aux questions suivantes: - de combien de millimètres la fondation va-t-elle tasser sous une charge? - au bout de combien de temps le tassement final sera-t-il atteint? - quel chargement une poutre peut-elle supporter avant de céder? - quel débit d’eau va s’infiltrer au travers d’un barrage? 12 6 Esprit du cours La plupart des équations présentées lors de ce cours sont d’une certaine complexité mathématique. Pour la grande majorité d’entre elles, il est impossible de les résoudre analytiquement à la main. Notre intérêt premier dans cette initiation à la MMC sera de poser des équations, et non pas de les résoudre. Les ingénieurs disposent d’un arsenal de méthodes numériques pour effectuer cette résolution. On abordera dans la suite du cours quelques méthodes de résolution dans le cadre propre de la MSD, mais aussi de la résistance des matériaux (RDM). uploads/Philosophie/ msd-cours1.pdf