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Correction des exercices du TD1 Rappel : des aides vous sont fournies sur le si

Correction des exercices du TD1 Rappel : des aides vous sont fournies sur le site « www4.utc.fr /~mt21/» à la fin des fichiers consacrés aux chapitre de cours. N’hésitez pas à les consulter pour refaire les exercices avant de regarder la correction. Nota : Lorsque la démonstration d’une question a déjà été présentée (typiquement comme dans l’exercice 1, il se peut que le rédacteur fasse quelques raccourcis ; cela ne vous autorise bien sûr pas à en faire dans vos copies. Exercice A.2.1 Q1 Utiliser les quantificateurs ou, si vous ne les avez pas encore vus, raisonnez en français. La négation de "une propriété est vraie pour tout élément d’un ensemble" est "il existe au moins un élément de l’ensemble qui ne la vérifie pas". La négation de (P et Q) est (  ou  ). Ecrivons déjà la proposition avec des quantificateurs :  , f(x) 2 et g(x) = 0 On commence par écrire ce que l’on cherche, c’est à dire la négation de la proposition : ( , f(x) 2 et g(x) = 0) Pour ne pas se tromper, on peut incorporer des parenthèses dans la proposition, afin de savoir dans quel ordre il faut effectuer les négations : ( ( ), ( (f(x) 2) et (g(x) = 0) ) ) Puis on effectue effectivement la négation : ( ), ( (f(x) 2) et (g(x) = 0) )  , (f(x) 2) ou (g(x) = 0)  , f(a)>2 ou g(a) 0 Q2 On écrit la proposition avec l’opération que l’on veut effectuer : (   , n 0 ou n > 0) Puis par un jeu de parenthèses (à vous de jouer), on obtient le résultat :   , n > 0 et n 0 Q3 On écrit la proposition avec l’opération que l’on veut effectuer : (   , ex > 1)  , ex 1 Cette proposition est bien entendue fausse, mais c’est normal pour la négation d’une proposition vraie. Q4 On écrit la proposition avec l’opération que l’on veut effectuer : (   , ex = 1) (  , ex 1) ou ( 1 x   , 2 x   , x1 x2 , 1 x e = 1 et 2 x e = 1) Attention, la notation de la partie quantificateur entre parenthèses est un peu abusive Ici on va utiliser le fait que la négation de (P ou Q) est (  et  ). La négation de l’existence unique entraîne la mise en évidence de 2 cas possible : la non existence, ou l’existence multiple. Q5 On écrit la proposition avec l’opération que l’on veut effectuer : (x 0 x existe) x 0 et x n’existe pas Q6 On écrit la proposition avec l’opération que l’on veut effectuer : ( n  + n3 – n est multiple de 3) n  + et n3 – n n’est pas multiple de 3 Exercice A.2.2 Soit E un ensemble, et P(x) une propriété satisfaite ou non par les éléments de E. Trouver l’unique ensemble A tel que ( A, P(x)) (  A, P(x)) est fausse. Pour répondre à la question, commençons par réécrire la proposition : ( A, P(x)) ou (  A, P(x)) ( a A, P(a)) ou (  A, P(x)) (1) Pour que la proposition ci-dessus soit fausse, il faut que les deux termes qui entourent le ou soit faux simultanément. Or ici, on voit apparaître une complémentarité de propositions (dans l’hypothèse, on indique de P(x) est soit vraie soit fausse sur E) qui va nous permettre de faire un petit raisonnement par l’absurde ; encore faut-il sentir que la véracité des deux termes du ou est fortement liée à l’existence d’éléments de E. Supposons que A est non vide, donc qu’il existe au moins un élément a dans A, et que (1) soit fausse (donc les deux termes de (1) faux). Pour cet élément de A, l’énoncé nous dit que P(x) est satisfaite ou non, donc que a (qui existe par hypothèse est tel que soit ( a A, P(a)), soit ( a A, P(a)) (ce qui est complètement équivalent à (  A, P(x)) car x est une variable muette). Ceci est directement en contradiction avec le fait que (1) est fausse, ce qui nous montre que l’hypothèse d’existence d’un a est fausse ; et donc A = . Exercice A.2.3 Soient E et F, deux ensembles, soit f une application E  F , f : x  f(x). Soit la proposition : E, E, (x y) (f(x) f(y)) (1) Q1 : négation de (1) On écrit la proposition avec l’opération que l’on veut effectuer : (1) ( E, E, (x y) (f(x) f(y)) ) Soit en transformant (utilisation des même astuces que l’exercice A.2.1) :  E,  E, (x y) et (f(x) = f(y)) Q2 : contraposée de (1) La contraposée est une forme équivalente de l’implication : E, E, (f(x) = f(y)) (x = y) (2) Q3 : négation de la contraposée de (1) On écrit la proposition avec l’opération que l’on veut effectuer : (2) ( E, E, (f(x) = f(y)) (x = y) ) Soit en transformant (utilisation des même astuces que l’exercice A.2.1) :  E,  E, (f(x) = f(y)) et (x y) Ici, on pense à rappeler que (P Q) est équivalent à (P et Q) ; pour se souvenir de cela, il suffit de nier ( P ou Q) qui est la forme équivalente de l’implication. De plus, pour éviter les erreurs, on retiendra que la négation d’un implication n’est pas une implication. Mêmes remarques que précédemment. Réécrire l’énoncé ne fait jamais de mal. (P Q) est équivalent à ( P ou Q) (P Q) est équivalent à ( P ou Q) et on effectue la négation de (P’ ou Q) c’est à dire (P’ et Q). (P Q) est équivalent à ( Q P). Etant donné qu’il s’agit d’une forme équivalente, elle doit s’exprimer pour les mêmes quantificateurs. Q4 : Comparaison des résultats des questions 1 et 3 La contraposée est équivalente à l’implication de départ. Il est donc normal de retrouver le même résultat en Q1 et Q3, car la négation d’une proposition P équivalente à une autre proposition Q, est équivalente à la négation de Q. Exercice A.2.4 Vérifier l’exactitude des proposition suivantes formées de 2 propositions P et Q. Penser à modifier les expressions pour se simplifier la vie Q1 Soit : Q (P Q) (1) Q ( P ou Q) Q ou ( P ou Q) ( Q ou Q) ou P Or ( Q ou Q) est toujours vraie et (vraie ou ?) est toujours vraie. Donc (1) est toujours vraie. Q2 Soit : P (P Q) (2) P ( P ou Q) P ou ( P ou Q) ( p ou P) ou Q P Q qui est vrai si P fausse ou si P vrai et Q vrai. Q3 Soit : P (P ou Q) (3) P ou (P ou Q) P ou (P ou Q) ( P ou P) ou Q toujours vrai (voir Q1) Q4 Soit : P (P et Q) (4) P ou (P et Q) Ici le plus simple est de faire une table de vérité pour trouver la solution. (on rappelle que l’on note vrai = 1 et faux =0) P Q et V F V 1 0 F 0 0 On voit que (4) est fausse quand Q est fausse. On peut aussi écrire : P ou (P et Q) ( P ou P ) et ( P ou Q) ñ V et ( P ou Q) ñ P ou Q (P Q) est équivalent à ( P ou Q) Utilisation de la commutativité et de l’associativité du ou Utilisation de la l’associativité du ou car (R ou R) est équivalent à R P et Q P ou V F V 1 1 F 1 0 Solution fausse par exemple Q5 Soit : Q (P ou Q) (5) Q ou (P ou Q) ( Q ou Q) ou P Toujours vraie (voir Q1) Q6 Soit : P et Q Q (6) (P et Q) ou Q ( P ou Q) ou Q P ou ( Q ou Q ) Toujours vrai (voir Q1) Exercice A.2.5 Soit n  , et P(n) : n2 est pair n est pair (1) Q1 : Utilisation de la contraposée de P(n) pour montrer que (1) est vraie contraposée de (1) n est impair n2 est impair soit n impair, on peut l’écrire n = 2 p +1 avec p  On peut ainsi calculer le carré de n : n2 = (2 p +1)2 = 4 p2 + 4 p +1 = 2 (2 p2 + 2 p) + 1 = 2 k + 1 avec k  n2 s’écrit comme un nombre impair (c’en est donc un) CQFD Q2 : raisonnement par l’absurde Supposons que n2 est pair, et que la conclusion est fausse, c’est à uploads/Philosophie/ mt90-cor-td1.pdf