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Présentation C2IU 21 janvier 2012 La logique dans les nouveaux programmes pour

Présentation C2IU 21 janvier 2012 La logique dans les nouveaux programmes pour le lycée. Zoé MESNIL Laboratoire de Didactique André Revuz zoe.mesnil@univ-paris-diderot.fr Je m'intéresse à cette question dans le cadre d'une thèse de didactique des mathématiques. Je l'aborde avec une formation en logique mathématique, ce qui n'est pas anodin car cette approche mathématique de la logique constitue pour moi une référence, par rapport à laquelle questionner ce qu'est « la logique ». Une vaste question : les professeurs de mathématiques enseignent-ils la logique ? Si oui, comment ? Si non, pourquoi ? Un contexte particulier pour poser cette question concernant les professeurs de lycée : le nouveau programme de 2010 pour la classe de Seconde. Les pratiques des professeurs en matière d'enseignement de la logique, notamment au lycée, n'ont pas été beaucoup étudiées. Les nouveaux programmes fixant des objectifs qui concernent des objets de la logique mathématique, la question des pratiques peut se poser d'une manière particulière en termes de modifications des pratiques. Et puis on peut s'attendre à ce que les professeurs soient plus mobilisés sur ces questions. Enfin, les manuels ont publiés des pages et exercices « logique », ce qui est une nouveauté par rapport aux éditions précédentes, qui peuvent être analysés. Une question en amont : pourquoi est-ce que les professeurs auraient à enseigner la logique ? (et donc à l'étudier dans leur formation…) Et derrière une question épistémologique : à quoi sert la logique dans l'activité mathématique ? A quoi ça sert la logique pour faire des mathématiques ? - la position de Descartes/Poincaré : c'est un outil de contrôle, mais l'important c'est l'intuition (guidée par le bon sens). - la position logiciste de Frege/Russell : la logique c'est le fondement des mathématiques. - une position moins extrême (je pense assez courante chez les mathématiciens universitaires) : on apprend naturellement le minimum de logique dont on a besoin pour faire des mathématiques en faisant des mathématiques. Poincaré : « avec la logique on démontre, avec l'intuition on invente ». Pas sûre que pour les élèves ça vienne si naturellement que ça… On peut considérer que le fait que la négation d'un énoncé universel soit un énoncé existentiel, ou dit de manière un peu plus formelle, que la négation de « pour tout x P(x) » soit « il existe x tel que non P(x) » est une règle assez naturelle. Pourtant il a été maintenant montré plusieurs fois que la négation de « tous » pour les élèves est souvent « aucun ». Prendre la logique mathématique comme référence pour ces questions c'est considérer que ceci est un théorème de la logique mathématique (ce qui ne veut pas dire que c'est comme ça que je préconise de l'enseigner !). C'est un théorème que l'on trouve généralement dans les livres de logique dans le chapitre sur le langage des prédicats, langage formel qui nous sert de référence quand nous faisons des mathématiques, même si nous utilisons selon les besoins (cours à des étudiants, exposé à des collègues, rédaction d'un ouvrage) des niveaux de formalisation différents par rapport à ce langage. Une réponse : La logique est une branche des mathématiques qui modélise non pas les mathématiques mais ce que nous faisons quand nous faisons des mathématiques. Ce que nous faisons c'est notre langage et nos raisonnements. Pour le langage, ce qui est modélisé c'est ce qui nous sert à dire les faits sur les objets mathématiques, pas tout le discours des mathématiques qui englobe des commentaires sur notre activité mathématique. A l'Université : compte-rendu d'une expérience d'enseignement d'un cours « Langage Mathématique » proposé en première année dans les parcours math, math- info, info et Mass (facultatif). Objectif du cours : familiariser les étudiants avec le langage mathématique. Des notions de base de logique : statut des variables, connecteurs, quantificateurs, les différents types de raisonnement à partir de l'étude du langage mathématique. Par exemple, on prend des énoncés du cours de math : et on l'écrit dans un langage « à contrainte », dans lequel notamment les quantifications sont explicites (« unpacking the logic », exercice thème/version). Écrire les énoncés de manière plus formelle permet de faire des liens entre structure de l'énoncé et structure de la démonstration. Évidemment, ça ne suffit pas pour avoir l'idée de la démonstration, seuls résultats que je connaisse pour l'instant c'est Selden et Selden : les étudiants qui n'arrivent pas à dégager la structure logique des énoncés n'arrivent pas à valider leurs preuves (on retrouve la dimension outil de contrôle). Le problème est la question de la réciproque. Au delà du lien avec les capacités à proposer des preuves, on peut faire l'hypothèse que proposer différentes formulation participe à la construction de ce que Selden et Selden appellent « statement image » qui inclus « tous les énoncés alternatifs, les exemples, les contre-exemples, les visualisations, les propriétés, les concepts, les conséquences etc associés à un énoncé ». Pas d'expérimentation organisée et de résultats, une impression : certains élèves s'emparent d'outils proposés (par exemple la notion de variable libre/liée pour vérifier la synonymie d'expressions) mais restent de grosses difficultés dès qu'il s'agit de produire un raisonnement un peu complexe, notamment dans leurs démonstrations se baladent un peu partout des variables qui n'ont pas été introduites. Difficulté de passer d'exercices du type : x est un nombre réel. Montrer que P(x) À Montrer que pour tout x réel on a P(x) Voire Montrer que l'on a ∀x Px Dans le premier cas, le plus courant au lycée, pas de notion d'élément générique puisque le caractère universel de ce qui est montré n'est pas mentionné. De plus ce qui pourrait avoir un statut d'élément générique est donné. Dans le deuxième cas, tout ça est à la charge de l'étudiant, voire en plus dans le troisième cas une compréhension d'un énoncé symbolique (ce qui n'est peut-être pas le plus dur) Des nouveautés dans le programme pour la classe de Seconde de 2010 : Est-ce que ça va changer quelque chose ? Un regard en arrière : petit historique de l'enseignement de la logique au lycée depuis 1960. Ça peut changer quelque chose si les pratiques des professeurs changent : étude en cours. Dans le questionnaire, sur 35 professeurs, 18 disent qu'ils travaillaient avec leurs élèves de Seconde sur des notions de logique déjà avant ces nouveaux programmes, 33 disent qu'ils le font depuis les nouveaux programmes. Ce qui est sûr c'est qu'il y a dans les manuels des choses qui n'étaient pas présentes avant, ce qui n'est pas sûr c'est que ça aide les élèves… Dans des discussions avec des professeurs qui enseignent en branche scientifique (TS et 1S), certains disent qu'ils vont se sentir plus autorisés à parler de logique et à systématiser l'utilisation de certaines notions, par exemples les quantificateurs, la contraposée… mais le nouveaux programme est-il adapté à cette volonté ? (exemple des deux définitions de la convergence des suites). Je démarre en 1960, premiers textes dans lesquels apparaissent notions ensemblistes et flèches d'implication et d'équivalence (et également symboles de quantificateurs dans certains manuels). « C'est donc à l'enseignant du second cycle qu'incombe la tâche d'entreprendre et de poursuivre une initiation plus complète aux modes élémentaires de la pensée logique et à ses moyens d'expression, étant bien entendu que ces notions ne doivent pas faire l'objet d'un exposé systématique, théorique et abstrait; elles doivent être dégagées et précisées peu à peu, puis être mises à l'épreuve à l'occasion de l'étude méthodique et réfléchie des diverses théories et des nombreux problèmes que comporte chacune d'elles. » Programme de 1960 « Le développement de l'argumentation et l'entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée. A l'issue de la seconde, l'élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à détacher les principes de la logique formelle de ceux de la logique du langage courant, et, par exemple, à dissocier implication mathématique et causalité. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l'objet de cours spécifiques mais doivent prendre place naturellement dans tous les chapitres du programme.» Programme de 2009 Des objectifs qui se ressemblent : amener progressivement les élèves à maîtriser la logique en oeuvre dans la pratique des mathématiques. Dans le passage de l'expression « une initiation plus complète » à « l'entraînement à la logique » on peut voir le passage d'un enseignement magistral à un enseignement où l'élève est acteur de ses apprentissages. Le terme « initiation » peut avoir une connotation spirituelle, le terme « entraînement » une connotation sportive, en caricaturant nous pouvons donc comparer le professeur de 1960 à un gourou et celui de 2009 à un coach. On retrouve dans les deux programmes la volonté de ne pas faire de cours de logique, mais « l'étude méthodique et réfléchie des diverses théories » ne semble plus être pratiquée aujourd'hui. Une différence importante : « modes élémentaires de la pensée logique et à ses moyens d'expression » prépare l'approche des maths modernes, introduction des symboles avec uploads/Philosophie/ notes-zoe-mesnil.pdf