École Marocaine des Sciences de l'Ingénieur Algèbre Ilyas NAJI(∗) Octobre 2019

École Marocaine des Sciences de l'Ingénieur Algèbre Ilyas NAJI(∗) Octobre 2019 (∗) Equipe d'Ingénierie Mathématique (E.I.MA./LIRNE), B.P.133-Kénitra - Maroc 2 Avant-Propos Avant-propos Ce Polycopié est une version étoée de notes de cours d'algèbre donnés par l'auteur auprès des étudiants de première année de l'ENSA. Il couvre entre autres l'intégra- lité du bagage algébrique minimum que devrait avoir acquis un étudiant en première année de n'importe quelle école d'ingénierie. Il contient également des résultats qui permettent d'approfondir certaines thématiques ou de redécouvrir des notions clas- siques sous une nouvelle perspective. Ce module d'Algèbre I couvre particulièrement les chapitres suivants : Fonde- ments de mathématiques, Polynomes, Fraction ratiinelles, et en n le Calcul matriciel et résolution des systèmes linéaires. Pour ce programme, en plus des séances de Cours des séances Travaux Dirigés (TD), sont prévus, et l'auteur propose un recueil d'exercices avec corrections, per- mettant l'application de l'ensemble des techniques vues dans le cours. À la n de ce manuscrit se trouvent ces séries d'exercices de TD. La présentation suit de prés les livres de base : Algèbre-MP de Jean-Marie Monier et le livre Cours de mathematiques tome 1 algèbre, de Jean Marie Arnaudies et Henri Fraysse. Comme la plupart des démonstrations sont reproduites dans ce cours, les références sont omises, et les lecteur intéressés par les diérentes références pourront consulter ces livres. Nous accueillerons avec reconnaissance les éventuelles remarques que le lecteur voudra bien nous faire parvenir. Ilyas NAJI Ilyas NAJI - École Marocaine des Sciences de l'Ingénieur - Rabat - Octobre 2019 - Table des matières Avant-propos 2 1 Logique et raisonnement 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 L'opérateur logique  et  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 L'opérateur logique  ou  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 La négation  non  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 L'implication = ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6 L'équivalence ⇐ ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.7 Quanti cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.8 Le quanti cateur ∃: "il existe " . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.9 La négation des quanti cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Cas par cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.6 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.7 Exercices d'applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Ensembles et Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Dé nir des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Inclusion, union, intersection, complémentaire . . . . . . . . . 15 1.4.4 Règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.5 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.6 Exercices d'applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 4 TABLE DES MATIÈRES 2 Les nombres complexes 19 2.1 Partie réelle et imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Conjugué, module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 Racines carrées d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Equation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Théorème fondamental de l'algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6.1 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6.2 Formule de Moivre, notation exponentielle . . . . . . . . . . . 24 2.6.3 Racines n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6.4 Applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Polynômes 27 3.1 Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Opérations sur les polynômes . . . . uploads/Philosophie/ polycopie.pdf

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